Question

5．已知f（x）=cos²x-2sinxcosx-sin²x，
（1）求f（x）的周期和單調(diào)增區(qū)間；
（2）若f（x）圖象向左平移$\frac{π}{8}$得到函數(shù)g（x）的圖象，求g（x）在[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]上的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）將函數(shù)進(jìn)行化簡(jiǎn)，利用周期公式求函數(shù)的最小正周期，最后將內(nèi)層函數(shù)看作整體，放到正弦函數(shù)的增區(qū)間上，解不等式得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）由（1）可得f（x）圖象向左平移$\frac{π}{8}$得到函數(shù)g（x）的圖象，在利用三角函數(shù)的圖象及性質(zhì)求其在[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]上最值，即可得到范圍．

解答 解：由f（x）=cos²x-2sinxcosx-sin²x，
化簡(jiǎn)：f（x）=cos2x-sin2x
=$\sqrt{2}$cos（2x+$\frac{π}{4}$）
（1）函數(shù)的周期T=$\frac{2π}{ω}=\frac{2π}{2}=π$，
由余弦函數(shù)的性質(zhì)可知：2x-$\frac{π}{4}$∈[2kπ-π，2kπ]，（k∈Z）是單調(diào)遞增區(qū)間，即2kπ-π≤2x+$\frac{π}{4}$≤2kπ
解得：kπ-$\frac{5π}{8}$≤x≤kπ-$\frac{π}{8}$
∴函數(shù)f（x）單調(diào)遞增區(qū)間為[kπ-$\frac{5π}{8}$，kπ-$\frac{π}{8}$]，（k∈Z）
（2）由（1）可得f（x）=$\sqrt{2}$cos（2x+$\frac{π}{4}$）向左平移$\frac{π}{8}$得到：$\sqrt{2}$cos[2（x+$\frac{π}{8}$）+$\frac{π}{4}$]=-$\sqrt{2}$sin2x
∴g（x）=-$\sqrt{2}$sin2x
又∵x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]上，∴2x∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$]．
由正弦函數(shù)的性質(zhì)可得：
當(dāng)2x=$-\frac{π}{3}$時(shí)，函數(shù)g（x）取得最大值，即g（x）${\;}_{max}=-\sqrt{2}sin（-\frac{π}{3}）=\frac{\sqrt{6}}{2}$
當(dāng)2x=$\frac{π}{2}$時(shí)，函數(shù)g（x）取得最小值，即g（x）${\;}_{min}=-\sqrt{2}sin\frac{π}{2}=-\sqrt{2}$
故：g（x）在[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]上的取值范圍是：[$-\sqrt{2}$，$\frac{\sqrt{6}}{2}$]

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查對(duì)三角函數(shù)的化簡(jiǎn)能力和三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)的運(yùn)用，平移，利用三角函數(shù)公式將函數(shù)進(jìn)行化簡(jiǎn)是解決本題的關(guān)鍵．屬于中檔題．