Question

2．命題p：$f（x）=\frac{2}{x-m}$在區(qū)間（-7，+∞）是減函數(shù)，命題q：不等式${m^2}+5m-3≥\sqrt{{a^2}+8}$對(duì)任意的實(shí)數(shù)a∈[-1，1]恒成立．若（?p）∧q為真命題，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 根據(jù)反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)，可得當(dāng)p為真時(shí)：m≤-7，根據(jù)恒成立轉(zhuǎn)化為最值的原則，可得q為真時(shí)：m≤-6或m≥1，進(jìn)而得到答案．

解答 解：∵命題p：$f（x）=\frac{2}{x-m}$在區(qū)間（m，+∞）是減函數(shù)，
故當(dāng)p為真時(shí)：m≤-7，
a∈[-1，1]時(shí)，$\sqrt{{a}^{2}+8}$∈[2$\sqrt{2}$，3]，
若不等式${m^2}+5m-3≥\sqrt{{a^2}+8}$對(duì)任意的實(shí)數(shù)a∈[-1，1]恒成立．
則m²+5m-3≥3，
解得：m≤-6或m≥1
故當(dāng)q為真時(shí)：m≤-6或m≥1
若（?p）∧q為真命題，則m＞-7，且m≤-6或m≥1
所以實(shí)數(shù)m的范圍是-7＜m≤-6或m≥1

點(diǎn)評(píng) 本題以命題的真假判斷與應(yīng)用為載體，考查了反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)，恒成立問(wèn)題，難度中檔．