Question

17．如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是平行四邊形，PD⊥底面ABCD，PA=AB=2，BC=$\frac{1}{2}$PA，BD=$\sqrt{3}$，E在PC邊上．
（1）求證：平面PDA⊥平面PDB；
（2）當(dāng)E是PC邊上的中點(diǎn)時(shí)，求異面直線AP與BE所成角的余弦值；
（3）若二面角E-BD-C的大小為30°，求DE的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）由題意可得AD²+BD²=AB²，得AD⊥BD，再由PD⊥底面ABCD，得BD⊥平面PAD，由面面垂直的判定得平面PDA⊥平面PDB；
（2）以D為原點(diǎn)建立如圖3所示空間直角坐標(biāo)系，由已知得到點(diǎn)D、P、A、B、C、E的坐標(biāo)，由$\overrightarrow{AP}、\overrightarrow{BE}$的夾角求得異面直線AP與BE所成角的余弦值；
（3）由C，E，P三點(diǎn)共線，得$\overrightarrow{DE}=λ\overrightarrow{DP}+（1-λ）\overrightarrow{DC}$，且0≤λ≤1，從而求出$\overrightarrow{DE}、\overrightarrow{DB}$的坐標(biāo)，再求出平面EDB與平面CBD的法向量，結(jié)合二面角E-BD-C的大小為30°列式求得λ，進(jìn)一步得到$\overrightarrow{DE}$的坐標(biāo)，則DE的長(zhǎng)可求．

解答 （1）證明：∵底面ABCD是平行四邊形，∴AD=BC=1，
又$BD=\sqrt{3}，\;\;AB=2$，滿足AD²+BD²=AB²，
∴AD⊥BD，
又∵PD⊥底面ABCD，∴PD⊥BD，得BD⊥平面PAD，
∵BD?平面PDB，∴平面PDA⊥平面PDB；
（2）解：以D為原點(diǎn)建立如圖3所示空間直角坐標(biāo)系，

則$D（0，\;\;0，\;\;0），\;\;P（0，\;\;0，\;\;\sqrt{3}），\;\;A（1，\;\;0，\;\;0），\;\;B（0，\;\;\sqrt{3}，\;\;0）$，$C（-1，\;\;\sqrt{3}，\;\;0）$，
∵E是PC邊上的中點(diǎn)，∴$E（{-\frac{1}{2}，\;\;\frac{{\sqrt{3}}}{2}，\;\;\frac{{\sqrt{3}}}{2}\;}）$，
則$\overrightarrow{AP}=（-1，\;\;0，\;\;\sqrt{3}），\;\;\overrightarrow{BE}=（{-\frac{1}{2}，\;\;-\frac{{\sqrt{3}}}{2}，\;\;\frac{{\sqrt{3}}}{2}\;}）$，
∴cos＜$\overrightarrow{AP}，\overrightarrow{BE}$＞=|$\frac{\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{BE}}{|\overrightarrow{AP}||\overrightarrow{BE}|}$|=|$\frac{-1×（-\frac{1}{2}）+0×（-\frac{\sqrt{3}}{2}）+\sqrt{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{（-1）^{2}+（\sqrt{3}）^{2}}×\sqrt{（-\frac{1}{2}）^{2}+（-\frac{\sqrt{3}}{2}）^{2}+（\frac{\sqrt{3}}{2}）^{2}}}$=$\frac{2\sqrt{7}}{7}$；
（3）解：由C，E，P三點(diǎn)共線，
得$\overrightarrow{DE}=λ\overrightarrow{DP}+（1-λ）\overrightarrow{DC}$，且0≤λ≤1，
從而有$\overrightarrow{DE}=（λ-1，\;\;\sqrt{3}（1-λ），\;\;\sqrt{3}λ），\;\;\overrightarrow{DB}=（0，\;\;\sqrt{3}，\;\;0）$，
設(shè)平面EDB的法向量為$\overrightarrow n=（x，\;\;y，\;\;z）$，
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DE}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DB}=0}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{（λ-1）x+\sqrt{3}（1-λ）y+\sqrt{3}λz=0}\\{\sqrt{3}y=0}\end{array}\right.$，
取x=$\sqrt{3}$，得$\overrightarrow n=（{\sqrt{3}，\;\;0，\;\;\frac{1-λ}{λ}}）$，
又平面CBD的法向量可取$\overrightarrow m=（0，\;\;0，\;\;1）$，
∵二面角E-BD-C的大小為30°，∴cos30°=|$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$|，解得$λ=\frac{1}{4}$．
∴$\overrightarrow{DE}=（-\frac{3}{4}，\frac{3\sqrt{3}}{4}，\frac{\sqrt{3}}{4}）$，則|DE|=|$\overrightarrow{DE}$|=$\frac{\sqrt{39}}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查平面與平面垂直的判定，考查了利用空間向量求解二面角的平面角，考查計(jì)算能力，是中檔題．