Question

13．已知函數(shù)$f（x）=Asin（ωx+ϕ）（A＞0，ω＞0，|ϕ|＜\frac{π}{2}）$，則下面結(jié)論正確的是（　�。�

• A． 函數(shù)f（x）的最小正周期為$\frac{π}{2}$
• B． 函數(shù)f（x）是偶函數(shù)
• C． 函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線$x=\frac{π}{3}$對稱
• D． 函數(shù)f（x）在區(qū)間$[0，\frac{π}{4}]$上是增函數(shù)

Answer 1

分析 根據(jù)函數(shù)f（x）的圖象求出f（x）的解析式，再判斷四個選項是否正確即可．

解答 解：根據(jù)函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）的圖象知，
最大值為A=2，
半周期為$\frac{T}{2}$=$\frac{4π}{9}$-$\frac{π}{9}$=$\frac{π}{3}$，
∴$\frac{π}{ω}$=$\frac{π}{3}$，
解得ω=3；
當(dāng)x=$\frac{1+4}{9×2}$π=$\frac{5π}{18}$時，
3×$\frac{5π}{18}$+φ=$\frac{π}{2}$+2kπ，k∈Z，
即φ=-$\frac{π}{3}$+2kπ，k∈Z，
又|φ|＜$\frac{π}{2}$，
∴φ=-$\frac{π}{3}$，
∴f（x）=2sin（3x-$\frac{π}{3}$）；
∴f（x）的周期為T=$\frac{2π}{3}$，A錯誤；
f（x）既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)，B錯誤；
當(dāng)x=$\frac{π}{3}$時，f（x）=2sin$\frac{2π}{3}$=$\sqrt{3}$，不是最值，
∴f（x）的圖象不關(guān)于直線$x=\frac{π}{3}$對稱，C錯誤；
當(dāng)x∈[0，$\frac{π}{4}$]時，3x∈[0，$\frac{3π}{4}$]，3x-$\frac{π}{3}$∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{5π}{12}$]，
y=sin（3x-$\frac{π}{3}$）單調(diào)遞增，∴f（x）在[0，$\frac{π}{4}$]上單調(diào)遞增，D正確．
故選：D．

點評 本題考查了根據(jù)函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）的圖象求解析式的應(yīng)用問題，是綜合性題目．