14．已知平面向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$滿足$\overrightarrow{a}$•（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$）=5，且|$\overrightarrow{a}$|=2，|$\overrightarrow$|=1，則向量$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$夾角的正切值為$\sqrt{3}$．

分析 根據(jù)條件進行向量數(shù)量積的運算便可得出$4+2cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow＞=5$，從而得出cos＜$\overrightarrow{a}，\overrightarrow$＞的值，進而得出tan$＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow＞$的值．

解答 解：根據(jù)條件，$\overrightarrow{a}•（\overrightarrow{a}+\overrightarrow）={\overrightarrow{a}}^{2}+\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=$4+2•1cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow＞=5$；
∴$cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow＞=\frac{1}{2}$；
∴$＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow＞=\frac{π}{3}$；
∴$tan＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow＞=tan\frac{π}{3}=\sqrt{3}$．
故答案為：$\sqrt{3}$．

點評 考查向量數(shù)量積的運算及計算公式，向量夾角的概念及范圍，已知三角函數(shù)值求角．

練習冊系列答案
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（Ⅲ）求證：對于任意的正整數(shù)n，都有（$\frac{_{1}-1}{_{1}}$）2•（$\frac{_{2}-1}{_{2}}$）2•…•（$\frac{_{n}-1}{_{n}}$）2≥$\frac{1}{4n}$成立．

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