Question

3．已知雙曲線(xiàn)$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1的右焦點(diǎn)為F，過(guò)F作斜率為2的直線(xiàn)l，直線(xiàn)l與雙曲線(xiàn)的右支有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，則雙曲線(xiàn)的離心率范圍$（1，\sqrt{5}]$．

Answer 1

分析 由過(guò)F作斜率為2的直線(xiàn)l，直線(xiàn)l與雙曲線(xiàn)的右支有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，可得$\frac{a}＞$2，利用e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1+\frac{^{2}}{{a}^{2}}}$，又e＞1．即可得出．

解答 解：∵過(guò)F作斜率為2的直線(xiàn)l，直線(xiàn)l與雙曲線(xiàn)的右支有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，
∴$\frac{a}＞$2，
∴e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1+\frac{^{2}}{{a}^{2}}}$＜$\sqrt{5}$，又e＞1．
∴e∈$（1，\sqrt{5}]$．
故答案為：$（1，\sqrt{5}]$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)相交問(wèn)題，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．