Question

12．已知：A（cosx，sinx），其中0≤x＜2π，B（1，1），$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow{OC}$，f（x）=|$\overrightarrow{OC}$|²
（Ⅰ）求f（x）的對(duì)稱軸和對(duì)稱中心；
（Ⅱ）求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)平面向量的幾何意義求得f（x）的解析式，結(jié)合；解析式求f（x）的對(duì)稱軸和對(duì)稱中心；
（Ⅱ）根據(jù)正弦函數(shù)圖象的單調(diào)性解答．

解答 解：（Ⅰ）．由題設(shè)知，$\overrightarrow{OA}$=（cosx，sinx），
$\overrightarrow{OB}$=（1，1），則$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow{OC}$=（1+cosx，1+sinx），
∴f（x）=|$\overrightarrow{OC}$|²=（1+cosx）²+（1+sinx）²，
=3+2（sinx+cosx），
=3+2$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$）．
∴x+$\frac{π}{4}$=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，
即對(duì)稱軸是x=kπ+$\frac{π}{4}$，k∈Z，
對(duì)稱中心橫坐標(biāo)滿足x+$\frac{π}{4}$=kπ，k∈Z，
即x=kπ-$\frac{π}{4}$，k∈Z，
∴對(duì)稱中心是（kπ-$\frac{π}{4}$，3）k∈Z．
（Ⅱ）當(dāng)2kπ-$\frac{π}{2}$≤x+$\frac{π}{4}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z時(shí)f（x）單調(diào)遞增，即2kπ-$\frac{3π}{4}$≤x≤2kπ+$\frac{π}{4}$，k∈Z，
∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間[2kπ-$\frac{3π}{4}$，2kπ+$\frac{π}{4}$]，k∈Z．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用和平面向量數(shù)量積的運(yùn)算．需要學(xué)生熟練掌握正弦三角函數(shù)圖象的性質(zhì)，屬于中等題，難度不大．