Question

3．已知正項等比數(shù)列{a_n}，$2{a_1}+{a_2}=15，{a_4}^2=9{a_1}{a_5}$
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）設(shè)b_n=log₃a₁+log₃a₂+…+log₃a_n；數(shù)列$\left\{{\frac{1}{b_n}}\right\}$的前n項和記為S_n，是否存在正整數(shù)n，使得${S_n}＞\frac{39}{20}$，若存在，求出n的最小值，若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）設(shè)等比數(shù)列{a_n}的公比為q，由等比數(shù)列的性質(zhì)、通項公式化簡條件，求出q、a₁的值，再由等比數(shù)列通項公式求出a_n；
（2）根據(jù)對數(shù)的運算性質(zhì)求得b_n，再求出$\frac{1}{_{n}}$，利用裂項相消法求出數(shù)列$\left\{{\frac{1}{b_n}}\right\}$的前n項和為S_n，代入不等式化簡后求出n的最小值．

解答 解：（1）設(shè)等比數(shù)列{a_n}的公比為q，
由${a}_{4}^{2}$=9a₁a₅，可知：${a}_{4}^{2}$=9${a}_{3}^{2}$，即q²=9，
∵a_n＞0，
∴q=3，由2a₁+a₂=15，即2a₁+3a₁=5，
∴a₁=3，
∴a_n=3ⁿ，
（2）由（1）可知：a_n=3ⁿ，
∴b_n=log₃a₁+log₃a₂+…+log₃a_n=1+2+3+…+n=$\frac{n（n+1）}{2}$，
$\frac{1}{_{n}}$=$\frac{2}{n（n+1）}$=2（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），
∴S_n=$\frac{1}{_{1}}$+$\frac{1}{_{2}}$+$\frac{1}{_{3}}$+…+$\frac{1}{_{n}}$，
=2[（1-$\frac{1}{2}$）+（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$）+（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$）+（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$）]，
=2（1-$\frac{1}{n+1}$），
=$\frac{2n}{n+1}$，
由$\frac{2n}{n+1}$＞$\frac{39}{20}$，解得：n＞39，
∴n的最小值為40．

點評 本題考查等比數(shù)列的通項公式及性質(zhì)，考查“裂項法”求數(shù)列的前n項和，考查數(shù)列與不等式相結(jié)合，考查計算能力，屬于中檔題．