Question

6．已知定義在R上的奇函數(shù)f（x）有最小正周期4，且x∈（0，2）時(shí)，f（x）=$\frac{e^x}{x}$．
（1）求f（x）在[-2，2]上的解析式；
（2）若函數(shù)y=f（x）-2m在（$\frac{1}{2}$，2）內(nèi)有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由題意：定義在R上的奇函數(shù)f（x），f（0）=0；x∈（0，2）時(shí)，f（x）=$\frac{e^x}{x}$．那么當(dāng)x∈（-2，0）時(shí)，-x∈（0，2），從而可以求解解析式．有最小正周期4，則有f（-2）=f（-2+4）=f（2），得f（2）=0．
可得f（x）在[-2，2]上的解析式；
（2）利于x∈（$\frac{1}{2}$，2）解析式，求其導(dǎo)函數(shù)；有兩個(gè)零點(diǎn)，導(dǎo)函數(shù)一個(gè)解為0，另個(gè)大于0或者小于0，即可求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

解答 解：由題意：定義在R上的奇函數(shù)f（x），f（0）=0；
∵當(dāng)x∈（0，2）時(shí)，f（x）=$\frac{e^x}{x}$，
那么：當(dāng)x∈（-2，0）時(shí)，-x∈（0，2），
則有：f（-x）=$\frac{{e}^{-x}}{-x}$=$\frac{1}{{-xe}^{x}}$=-f（x）
故得：f（x）=$\frac{1}{x{e}^{x}}$
函數(shù)有最小正周期4，則有f（-2）=f（-2+4）=f（2），得f（2）=0．
∴f（-2）=f（2）=0
所以：f（x）在[-2，2]上的解析式為：$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{x{e}^{x}}，（-2＜x＜0）}\\{0，（x=0，x=±2）}\\{\frac{{e}^{x}}{x}，（0＜x＜2）}\end{array}\right.$
（2）∵x∈（$\frac{1}{2}$，2）
∴f（x）=$\frac{{e}^{x}}{x}$
那么：函數(shù)y=f（x）-2m=$\frac{{e}^{x}}{x}$-2m，（x∈（$\frac{1}{2}$，2））
記h（x）=$\frac{{e}^{x}}{x}$-2m，
則有：h′（x）=$\frac{x•{e}^{x}-{e}^{x}}{{x}^{2}}$
令h′（x）=0，解得：x=1
函數(shù)y=f（x）-2m在（$\frac{1}{2}$，2）內(nèi)有兩個(gè)零點(diǎn)：
故得：$\left\{\begin{array}{l}{h（\frac{1}{2}）＞0}\\{h（1）＜0}\\{h（2）＞0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{h（\frac{1}{2}）＜0}\\{h（1）＞0}\\{h（2）＜0}\end{array}\right.$
解得：$\frac{1}{2}e＜m＜\frac{1}{4}{e}^{2}$
所以實(shí)數(shù)m的取值范圍為（$\frac{1}{2}e$，$\frac{1}{4}{e}^{2}$）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了分段函數(shù)的解析式的求法以及利用導(dǎo)函數(shù)的性質(zhì)求解恒成立問題．屬于中檔題．