Question

2．利用數(shù)學歸納法證明不等式“1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}-1}$＜n（n≥2，n∈N^*）”的過程中，由“n=k”變到“n=k+1”時，左邊增加的項數(shù)有（　　）

• A． 1項
• B． 2^k-1項
• C． 2^k項
• D． 2^k+1項

Answer 1

分析 依題意，由n=k遞推到n=k+1時，不等式左邊=1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{{2}^{k}-1}$+$\frac{1}{{2}^{k}}$+$\frac{1}{{2}^{k}+1}$+…+$\frac{1}{{2}^{k+1}-1}$與n=k時不等式的左邊比較即可得到答案

解答 解：用數(shù)學歸納法證明1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}-1}$＜n的過程中，假設n=k時不等式成立，左邊=1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{{2}^{k}-1}$，
則當n=k+1時，左邊=1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{{2}^{k}-1}$+$\frac{1}{{2}^{k}}$+$\frac{1}{{2}^{k}+1}$+…+$\frac{1}{{2}^{k+1}-1}$，
∴由n=k遞推到n=k+1時不等式左邊增加了：$\frac{1}{{2}^{k}}$+$\frac{1}{{2}^{k}+1}$+…+$\frac{1}{{2}^{k+1}-1}$，共（2^k+1-1）-2^k+1=2^k項，
故選：C．

點評 本題考查數(shù)學歸納法，考查觀察、推理與運算能力，屬于中檔題．