Question

10．已知橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0），其離心率與雙曲線$\frac{x^2}{3}-{y^2}$=1的離心率互為倒數(shù)，而直線x+y=$\sqrt{3}$過(guò)橢圓C的一個(gè)焦點(diǎn)．
（I）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）如圖，以橢圓C的左頂點(diǎn)T為圓心作圓T，設(shè)圓T與橢圓C交于兩點(diǎn)M，N，求$\overrightarrow{{T}{M}}•\overrightarrow{{T}{N}}$的最小值，并求出此時(shí)圓T的方程．

Answer 1

分析 （I）求得雙曲線的離心率，可得橢圓的離心率，運(yùn)用離心率公式和直線與x軸的交點(diǎn)，可得c，進(jìn)而得到a，b，即可得到橢圓方程；
（II）由對(duì)稱性，設(shè)M（x₁，y₁），N（x₁，-y₁），不妨設(shè)y₁＞0，M的坐標(biāo)代入橢圓方程，由T（-2，0），求得向量TM，TN的坐標(biāo)，可得數(shù)量積，化簡(jiǎn)整理，運(yùn)用二次函數(shù)的最值求法，可得最小值，及M的坐標(biāo)，圓的半徑，進(jìn)而得到圓的方程．

解答 解：（I）雙曲線$\frac{x^2}{3}-{y^2}$=1的離心率為$\frac{2}{{\sqrt{3}}}$，
由離心率互為倒數(shù)，可得橢圓的離心率為$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，即$\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．
因?yàn)閍²=b²+c²，所以a=2b．
又橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，由題意知其中一個(gè)焦點(diǎn)即為直線$x+y=\sqrt{3}$與x軸的交點(diǎn)，
所以$c=\sqrt{3}$，即a²-b²=3，從而a=2，b=1，
橢圓C的方程為$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$；
（II）因?yàn)辄c(diǎn)M，N關(guān)于x軸對(duì)稱，
所以設(shè)M（x₁，y₁），N（x₁，-y₁），
不妨設(shè)y₁＞0，由于M在橢圓上，所以$y_1^2=1-\frac{x_1^2}{4}$．
由（I）知橢圓的左頂點(diǎn)T的坐標(biāo)為 T（-2，0），
所以$\overrightarrow{{T}{M}}=（{{x_1}+2，{y_1}}）$，$\overrightarrow{{T}{N}}=（{{x_1}+2，-{y_1}}）$，$\overrightarrow{{T}{M}}•\overrightarrow{{T}{N}}={（{{x_1}+2}）^2}-y_1^2={（{{x_1}+2}）^2}-（{1-\frac{x_1^2}{4}}）=\frac{5}{4}{（{{x_1}+\frac{8}{5}}）^2}-\frac{1}{5}$．
因?yàn)?2≤x₁≤2，所以當(dāng)${x_1}=-\frac{8}{5}$ 時(shí)，$\overrightarrow{{T}{M}}•\overrightarrow{{T}{N}}$有最小值$-\frac{1}{5}$．
此時(shí)由$y_1^2=1-\frac{x_1^2}{4}$，解得${M}（{-\frac{8}{5}，\frac{3}{5}}）$，
又點(diǎn)M在圓T上，所以${r^2}={|{{M}{T}}|^2}=\frac{13}{25}$，
所以圓T的方程是：${（{x+2}）^2}+{y^2}=\frac{13}{25}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的方程的求法，注意運(yùn)用雙曲線的離心率和直線與x軸的交點(diǎn)，考查向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示，以及二次函數(shù)的最值的求法，以及圓方程的求法，屬于中檔題．