Question

3．定義$\frac{n}{{{p_1}+{p_2}+…+{p_n}}}$為n個(gè)正數(shù)p₁，p₂，…，p_n的“均倒數(shù)”．若已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)的“均倒數(shù)”為$\frac{1}{n}$，則$\frac{1}{{{a_1}{a_2}}}+\frac{1}{{{a_2}{a_3}}}+…+\frac{1}{{{a_{10}}{a_{11}}}}$=（　　）

• A． $\frac{9}{10}$
• B． $\frac{9}{20}$
• C． $\frac{20}{21}$
• D． $\frac{10}{21}$

Answer 1

分析 設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，由題意可得：$\frac{n}{{S}_{n}}$=$\frac{1}{n}$，可得S_n．利用遞推關(guān)系可得a_n=2n-1．再利用“裂項(xiàng)求和”方法即可得出．

解答 解：設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，
由題意可得：$\frac{n}{{S}_{n}}$=$\frac{1}{n}$，∴S_n=n²．
∴n=1時(shí)，a₁=1；n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=n²-（n-1）²=2n-1．（n=1時(shí)也成立）．
∴a_n=2n-1．
∴$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$．
∴$\frac{1}{{{a_1}{a_2}}}+\frac{1}{{{a_2}{a_3}}}+…+\frac{1}{{{a_{10}}{a_{11}}}}$=$\frac{1}{2}[（1-\frac{1}{3}）$+$（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）$+…+$（\frac{1}{19}-\frac{1}{21}）]$
=$\frac{1}{2}×（1-\frac{1}{21}）$=$\frac{10}{21}$．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)列的遞推關(guān)系、“裂項(xiàng)求和”方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．