Question

11．已知橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$的右焦點與拋物線y²=4$\sqrt{3}$x的焦點重合，且該橢圓的離心率與雙曲線$\frac{x^2}{3}-{y^2}$=1的離心率互為倒數(shù)．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（II）設直線l與橢圓相交于不同的兩點A，B，已知點A的坐標為（-a，0），點Q（0，y₀）在線段AB的垂直平分線上，且$\overrightarrow{QA}$•$\overrightarrow{QB}$=4，求y₀的值．

Answer 1

分析 （1）由拋物線方程 求得焦點坐標，求得c的值，由雙曲線的離心率公式求得其離心率，則e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，即可求得橢圓的半長軸a的值，則b²=a²-c²，即可求得半短軸，即可求得橢圓的方程；
（2）將直線方程代入橢圓方程，由韋達定理求得$-2{x_1}=\frac{{16{k^2}-4}}{{1+4{k^2}}}$，則${x_1}=\frac{{2-8{k^2}}}{{1+4{k^2}}}$，${y_1}=k（{{x_1}+2}）=\frac{4k}{{1+4{k^2}}}$即可求得B點坐標，由中點坐標公式求得M點坐標，分類當k=0時及當k≠0時，由$\overrightarrow{QA}$•$\overrightarrow{QB}$=4，根據(jù)向量的坐標表示，即可求得y₀的值．

解答 解：（1）拋物線${y^2}=4\sqrt{3}x$的焦點坐標為$（{\sqrt{3}，0}）$，
所以$c=\sqrt{3}$…（1分）
雙曲線$\frac{x^2}{3}-{y^2}=1$的離心率為$\frac{2}{{\sqrt{3}}}$，
所以橢圓的離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，解得：a=2，
所以b²=1…（3分）
∴橢圓方程為：$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$；…（4分）
（2）由（1）知A（-2，0），且直線l的斜率必存在，設斜率為k，
則直線方程為：y=k（x+2），設點B的坐標為（x₁，y₁），
聯(lián)立方程$\left\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{4}+{y^2}=1\\ y=k（{x+2}）\end{array}\right.$，方程消去y整理得：（1+4k²）x²+16k²x+（16k²-4）=0…（5分）
A，B兩點坐標滿足上述方程，由韋達定理得$-2{x_1}=\frac{{16{k^2}-4}}{{1+4{k^2}}}$，
所以${x_1}=\frac{{2-8{k^2}}}{{1+4{k^2}}}$，${y_1}=k（{{x_1}+2}）=\frac{4k}{{1+4{k^2}}}$
所以A（-2，0），B的坐標為$（{\frac{{2-8{k^2}}}{{1+4{k^2}}}，\frac{4k}{{1+4{k^2}}}}）$，…（6分）
線段AB的中點為M，則M點坐標為$（{\frac{{-8{k^2}}}{{1+4{k^2}}}，\frac{2k}{{1+4{k^2}}}}）$…（7分）
以下分兩種情況：
①當k=0時，點B的坐標為（2，0），線段AB的垂直平分線為y軸，于是$\overrightarrow{QA}=（{-2，-{y_0}}），\overrightarrow{QB}=（{2，-{y_0}}）$，
$\overrightarrow{QA}•\overrightarrow{QB}=-4+y_0^2=4⇒{y_0}=±2\sqrt{2}$…（8分）
②當k≠0時，線段AB的垂直平分線方程為$y-\frac{2k}{{1+4{k^2}}}=-\frac{1}{k}（{x+\frac{{8{k^2}}}{{1+4{k^2}}}}）$，
令x=0，解得${y_0}=-\frac{6k}{{1+4{k^2}}}$，
由$\overrightarrow{QA}=（{-2，-{y_0}}），\overrightarrow{QB}=（{{x_1}，{y_1}-{y_0}}）$…（9分）
∴$\overrightarrow{QA}$•$\overrightarrow{QB}$=-2x₁-y₀（y₁-y₀），
=-2×$\frac{2-8{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}$+$\frac{6k}{1+4{k}^{2}}$（$\frac{4k}{1+4{k}^{2}}$+$\frac{6k}{1+4{k}^{2}}$），
=$\frac{4（16{k}^{4}+15{k}^{2}-1）}{（1+4{k}^{2}）^{2}}$=4…（10分）
整理得：$7{k^2}=2⇒k=±\frac{{\sqrt{14}}}{7}，{y_0}=±\frac{{2\sqrt{14}}}{5}$…（11分）
綜上所述，${y_0}=±2\sqrt{2}$或${y_0}=±\frac{{2\sqrt{14}}}{5}$．…（12分）

點評 本題考查橢圓的標準方程及簡單幾何性質(zhì)，考查雙曲線及拋物線的簡單性質(zhì)，考查直線與橢圓的位置關系，韋達定理，中點坐標公式及向量數(shù)量積的坐標表示的綜合運用，考查計算能力，屬于中檔題．