Question

6．已知橢圓：$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1，直線l：y=x+5$\sqrt{7}$，橢圓上任意點(diǎn)P，則點(diǎn)P到直線l的距離的最大值（　�。�

• A． 3$\sqrt{14}$
• B． 2$\sqrt{7}$
• C． 3$\sqrt{7}$
• D． 2$\sqrt{14}$

Answer 1

分析 利用橢圓的參數(shù)方程，設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)，再由點(diǎn)到直線的距離及輔助角公式，再由正弦函數(shù)的性質(zhì)，即可求出P到直線l最大值．

解答 解：因?yàn)镻是橢圓$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1上任意點(diǎn)，
可設(shè)P（2cosθ，$\sqrt{3}$sinθ），其中θ∈[0，2π）；
因此點(diǎn)P到直線y=x+5$\sqrt{7}$，的距離是
d=$\frac{丨\sqrt{3}sinθ-2cosθ-5\sqrt{7}丨}{\sqrt{{1}^{2}+{1}^{2}}}$=$\frac{丨\sqrt{7}sin（θ-α）-5\sqrt{7}丨}{\sqrt{2}}$，其中tanα=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$；
∴當(dāng)sin（θ+α）=-1時(shí)，d取得最大值，
點(diǎn)P到直線l的距離的最大值$\frac{6\sqrt{7}}{\sqrt{2}}$=3$\sqrt{14}$．
故選A．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了橢圓的參數(shù)方程，點(diǎn)到直線的距離公式及正弦函數(shù)的性質(zhì)的綜合應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．