Question

14．如果直線l₁：2x-y+2=0，l₂：8x-y-4=0與x軸正半軸，y軸正半軸圍成的四邊形封閉區(qū)域（含邊界）中的點(diǎn)，使函數(shù)z=abx+y（a＞0，b＞0）的最大值為8，求a+b的最小值（　�。�

• A． 4
• B． 3
• C． 2
• D． 0

Answer 1

分析 由題意列出不等式組，畫出可行域，得到使目標(biāo)函數(shù)取得最大值的最優(yōu)解，代入目標(biāo)函數(shù)可得ab=4，然后利用基本不等式求最值．

解答 解：設(shè)P（x，y）為封閉區(qū)域中的任意點(diǎn)，
則P（x，y）滿足約束條件$\left\{\begin{array}{l}{2x-y+2≥0}\\{8x-y+4≤0}\\{x≥0，y≥0}\end{array}\right.$，
可行域如圖所示：
目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解為B（1，4），
依題意將B（1，4）代入z=abx+y（a＞0，b＞0）得最大值8，解得ab=4，
由基本不等得：$a+b≥2\sqrt{ab}=4$（當(dāng)且僅當(dāng)a=b=2時(shí)，等號成立），
∴a+b的最小值為4．
故選：A．

點(diǎn)評 本題考查簡單的線性規(guī)劃，考查了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，訓(xùn)練了利用基本不等式求最值，是中檔題．