Question

8．設(shè)f（x）=ax²-（a+1）x+1
（1）解關(guān)于x的不等式f（x）＞0；
（2）若對(duì)任意的a∈[-1，1]，不等式f（x）＞0恒成立，求x的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）對(duì)f（x）＞0，變形為（ax-1）（x-1）＞0，對(duì)a討論，分a=0，a＜0，a=1，a＞1，0＜a＜1，化簡(jiǎn)不等式，即可得到所求解集；
（2）由題意可得，a（x²-1）-x+1＞0，對(duì)任意的a∈[-1，1]恒成立．設(shè)g（a）=a（x²-1）-x+1，a∈[-1，1]．可得g（-1）＞0，且g（1）＞0，由二次不等式的解法，即可得到所求x的范圍．

解答 解：（1）f（x）＞0，即為ax²-（a+1）x+1＞0，
即有（ax-1）（x-1）＞0，
當(dāng)a=0時(shí)，即有1-x＞0，解得x＜1；
當(dāng)a＜0時(shí)，即有（x-1）（x-$\frac{1}{a}$）＜0，
由1＞$\frac{1}{a}$可得$\frac{1}{a}$＜x＜1；
當(dāng)a=1時(shí)，（x-1）²＞0，即有x∈R，x≠1；
當(dāng)a＞1時(shí)，1＞$\frac{1}{a}$，可得x＞1或x＜$\frac{1}{a}$；
當(dāng)0＜a＜1時(shí)，1＜$\frac{1}{a}$，可得x＜1或x＞$\frac{1}{a}$．
綜上可得，a=0時(shí)，解集為{x|x＜1}；
a＜0時(shí)，解集為{x|$\frac{1}{a}$＜x＜1}；
a=1時(shí)，解集為{x|x∈R，x≠1}；
a＞1時(shí)，解集為{x|x＞1或x＜$\frac{1}{a}$}；
0＜a＜1時(shí)，解集為{x|x＜1或x＞$\frac{1}{a}$}．
（2）對(duì)任意的a∈[-1，1]，不等式f（x）＞0恒成立，
即為ax²-（a+1）x+1＞0，
即a（x²-x）-x+1＞0，對(duì)任意的a∈[-1，1]恒成立．
設(shè)g（a）=a（x²-x）-x+1，a∈[-1，1]．
則g（-1）＞0，且g（1）＞0，
即-（x²-x）-x+1＞0，且（x²-x）-x+1＞0，
即（x-1）（x+1）＜0，且x²-2x+1＞0，
解得-1＜x＜1，且x≠1．
可得-1＜x＜1．
故x的取值范圍是（-1，1）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查二次不等式的解法，注意運(yùn)用分類討論的思想方法，考查不等式恒成立問題的解法，注意運(yùn)用構(gòu)造一次函數(shù)法，運(yùn)用單調(diào)性解決，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．