Question

5．下列函數(shù)中，最小值為4的是（　　）

• A． y=x+$\frac{4}{x}$
• B． y=sinx+$\frac{4}{sinx}$（0＜x＜π）
• C． y=e^x+4e^-x
• D． y=$\sqrt{{x}^{2}+3}$+$\frac{2}{\sqrt{{x}^{2}+3}}$

Answer 1

分析 在A中，當(dāng)x＜0時(shí)，$y=x+\frac{4}{x}$≤-2$\sqrt{x•\frac{4}{x}}$=-4；在B中，由sinx≤1，知y=sinx+$\frac{4}{sinx}$≥2$\sqrt{sinx•\frac{4}{sinx}}$=4不正確；在C中，y=e^x+4e^-x≥2$\sqrt{{e}^{x}•4{e}^{-x}}$=4；在D中，當(dāng)x=0時(shí)，y=$\frac{5\sqrt{3}}{3}$＜4．

解答 解：在A中，當(dāng)x＞0時(shí)，$y=x+\frac{4}{x}$≥2$\sqrt{x•\frac{4}{x}}$=4；
當(dāng)x＜0時(shí)，$y=x+\frac{4}{x}$≤-2$\sqrt{x•\frac{4}{x}}$=-4．故A錯(cuò)誤；
在B中，當(dāng)0＜x＜π，y=sinx+$\frac{4}{sinx}$≥2$\sqrt{sinx•\frac{4}{sinx}}$=4，
當(dāng)且僅當(dāng)sinx=2時(shí)取等號(hào)，由sinx≤1，知B不正確；
在C中，y=e^x+4e^-x≥2$\sqrt{{e}^{x}•4{e}^{-x}}$=4，
當(dāng)且僅當(dāng)e^x=4e^-x，即e^x=2時(shí)，取最小值，故C正確；
在D中，當(dāng)x=0時(shí)，y=$\sqrt{{x}^{2}+3}$+$\frac{2}{\sqrt{{x}^{2}+3}}$=$\sqrt{3}+\frac{2}{\sqrt{3}}$=$\frac{5\sqrt{3}}{3}$＜4，故D錯(cuò)誤．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)值的最小值的判斷，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)認(rèn)真審題，注意基本不等式性質(zhì)的合理運(yùn)用．