Question

4．如圖所示，正方形AA₁D₁D與矩形ABCD所在平面互相垂直，AB=2AD=2，點E為AB的中點．
（1）求證：BD₁∥平面A₁DE；
（2）求直線A₁E與平面AD₁E所成角．

Answer 1

分析 （1）連接AD₁交A₁D于點F，連EF，利用中位線定理可得BD₁∥EF，故BD₁∥平面A₁DE；
（2）證明A₁D⊥平面AD₁E，故而∠A₁EF為直線A₁E與平面AD₁E所成角，于是sin∠A₁EF=$\frac{{A}_{1}F}{{A}_{1}E}$．

解答 證明：（1）連接AD₁交A₁D于點F，連EF．
∵四邊形AA₁D₁D是正方形
∴F是AD₁的中點，
又∵E為AB的中點，
∴EF∥BD₁，
又∵EF?平面A₁DE，BD₁?平面A₁DE．
∴BD₁∥平面A₁DE．
解：（2）∵四邊形ABCD是矩形，
∴AE⊥AD．
又∵平面AA₁D₁D⊥平面ABCD，平面AA₁D₁D∩平面ABCD=AD，AE?平面ABCD，
∴AE⊥平面AA₁D₁D，又A₁D?平面AA₁D₁D，
∴AE⊥A₁D．
∵四邊形ADD₁A₁是正方形，
∴AD₁⊥A₁D，
又∵AE?平面AD₁E，AD₁?平面AD₁E，AE∩AD₁=A，
∴A₁D⊥平面AD₁E，
∴∠A₁EF是直線A₁E與平面AD₁E所成角．
∵AA₁=AE=1，
∴${A_1}E=\sqrt{2}$
∵正方形AA₁D₁D的邊長為1，
∴${A_1}F=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$
∴$sin∠{A_1}EF=\frac{{{A_1}F}}{{{A_1}E}}=\frac{1}{2}$，
∴$∠{A_1}EF=\frac{π}{6}$．
即直線A₁E與平面AD₁E所成角為$\frac{π}{6}$．

點評 本題考查了線面平行的判定，線面角的計算，屬于中檔題．