【題目】為參與某次救援，潛水員需潛至水下30米處進行作業(yè).在下潛與返回水面的過程中保持勻速，速度均為米/分鐘（，為常數(shù)），下潛過程中每分鐘耗氧量與速度的平方成正比，當速度為1米/分鐘時，每分鐘耗氧量為0.2升；在水下30米作業(yè)時，每分鐘耗氧量為0.4升：返回水面的過程中每分鐘耗氧量為0.2升假定氧氣瓶中氧氣為20升，潛水員下潛時開始使用氧氣瓶中的氧氣，返回到水面時氧氣瓶中氧氣恰好用盡.

（1）試求潛水員在水下30米作業(yè)的時間（單位：分鐘）與速度的函數(shù)解析式；

（2）試求潛水員在水下30米能作業(yè)的最長時間.

【答案】（1）；（2）分類討論，詳見解析.

【解析】

（1）下潛過程中每分鐘耗氧量與速度的平方成正比，則下潛每分鐘耗氧量為，上升和下潛的時間為，即可求出，整理即可，

（2）根據(jù)（1）的函數(shù)解析式，需要分類討論，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性和基本不等式即可求出.

解：（1）下潛過程中每分鐘耗氧量與速度的平方成正比，則下潛每分鐘耗氧量為，上升和下潛的時間為，則，

整理可得，（為常數(shù)）

（2）由（1）可知，當時，，當且僅當時取等號，

當時，易知函數(shù)在上為減函數(shù)，

∴，

故當潛水員在水下30米能作業(yè)的最長時間為20分鐘，

當時，潛水員在水下30米能作業(yè)的最長時間為分鐘

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知,命題:對,不等式恒成立;命題,使得成立.

(1)若為真命題,求的取值范圍;

(2)當時,若假,為真,求的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】設某大學的女生體重y（單位：kg）與身高x（單位：cm）具有線性相關(guān)關(guān)系，根據(jù)一組樣本數(shù)據(jù)（xi，yi）（i=1，2，…，n），用最小二乘法建立的回歸方程為=0.85x-85.71，則下列結(jié)論中不正確的是

A. y與x具有正的線性相關(guān)關(guān)系

B. 回歸直線過樣本點的中心（，）

C. 若該大學某女生身高增加1cm，則其體重約增加0.85kg

D. 若該大學某女生身高為170cm，則可斷定其體重比為58.79kg

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)（其中是自然對數(shù)的底數(shù)）

（1）若在R上單調(diào)遞增，求正數(shù)a的取值范圍；

（2）若f（x）在處導數(shù)相等，證明：；

（3）當時，證明：對于任意，若，則直線與曲線有唯一公共點（注：當時，直線與曲線的交點在y軸兩側(cè)）.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】小劉同學大學畢業(yè)后自主擇業(yè)，回到農(nóng)村老家發(fā)展蜜桔收購，然后賣出去，幫助村民致富.小劉打算利用“互聯(lián)網(wǎng)+”的模式進行銷售.為了更好地銷售，假設該村每顆蜜柚樹結(jié)果50個，現(xiàn)隨機選了兩棵樹的蜜柚摘下來進行測重，其質(zhì)量分布在區(qū)間內(nèi)（單位：千克）的個數(shù)：，10；，10；，15；，40；，20；，5.

（1）作出其頻率分布直方圖并求其眾數(shù)；

（2）以各組數(shù)據(jù)的中間數(shù)值代表這組數(shù)據(jù)的平均水平，以頻率代表概率，已知該村蜜袖樹上大約還有100顆樹的蜜柚待出售，小劉提出兩種收購方案：

A.所有蜜柚均以16元/千克收購；

B.低于2.25千克的蜜柚以22元/個收購，高于或等于2.25千克的以30元/個收購.請你通過計算為該村選擇收益最好的方案.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖所示，四棱錐P﹣ABCD中，PC⊥底面ABCD，PC＝CD＝2，E為AB的中點，底面四邊形ABCD滿足∠ADC＝∠DCB＝90°，AD＝1，BC＝3．

（Ⅰ）求證：平面PDE⊥平面PAC；

（Ⅱ）求直線PC與平面PDE所成角的正弦值；

（Ⅲ）求二面角D﹣PE﹣B的余弦值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知橢圓的離心率為，右焦點為，以原點為圓心，橢圓的短半軸長為半徑的圓與直線相切.

（1）求橢圓的方程；

（2）如圖，過定點的直線交橢圓于兩點，連接并延長交于，求證：.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】計算機考試分理論考試與實際操作兩部分，每部分考試成績只記“合格”與“不合格”，兩部分考試都“合格”者，則計算機考試“合格”，并頒發(fā)合格證書甲、乙、丙三人在理論考試中“合格”的概率依次為，，，在實際操作考試中“合格”的概率依次為，，，所有考試是否合格相互之間沒有影響.

（1）假設甲、乙、丙三人同時進行理論與實際操作兩項考試，誰獲得合格證書的可能性最大？

（2）這三人進行理論與實際操作兩項考試后，求恰有兩人獲得合格證書的概率.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】若關(guān)于某設備的使用年限（年）和所支出的維修費（萬元）有如下統(tǒng)計資料：

若由資料知，對呈線性相關(guān)關(guān)系．

（1）請根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，用最小二乘法求出關(guān)于的線性回歸方程；

（2）估計使用年限為10年時，維修費用約是多少？（精確到兩位小數(shù)）；

（3）計算第2年和第6年的殘差.

附：回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計分別為；.

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