Question

9．已知函數(shù)f（x）=ln（x+1）-ax在（0，f（0））處的切線與函數(shù)y=$\frac{1}{2}{x^2}$相切．
（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若（k+1）（x-1）＜xf（x-1）+x²（k∈Z）對任意x＞1恒成立，求k的最大值．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，結(jié)合函數(shù)的切線方程求出a的值，從而求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)令g（x）=$\frac{xf（x-1）{+x}^{2}}{x-1}$（x＞1）的最小值，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出即可．

解答 解：（1）因為$f'（x）=\frac{1}{x+1}-a$，
所以切線方程為y=（1-a）x，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}y=（1-a）x\\ y=\frac{1}{2}{x^2}\end{array}\right.$得x²-2（1-a）x=0，
由△=0，得a=1，
所以f（x）=ln（x+1）-x，
所以$f'（x）=\frac{1}{x+1}-1=-\frac{x}{x+1}$．
當(dāng)x∈（-1，0）時，f'（x）＞0；
當(dāng)x∈（0，+∞）時，f'（x）＜0．
所以f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（-1，0），單調(diào)遞減區(qū)間是（0，+∞）；
（2）令g（x）=$\frac{xf（x-1）{+x}^{2}}{x-1}$=$\frac{xlnx+x}{x-1}$（x＞1），
∴g′（x）=$\frac{x-lnx-2}{{（x-1）}^{2}}$（x＞1）
令h（x）=x-lnx-2（x＞1），h′（x）=$\frac{x-1}{x}$＞0，
∴h（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增．
∵h(yuǎn)（3）=1-ln3＜0，h（4）=2-ln4＞0，
∴h（x）存在唯一零點x₀∈（3，4），即x₀-lnx₀-2=0．
當(dāng)x∈（1，x₀）時，h（x）＜h（x₀）=0⇒g′（x）＜0；
當(dāng)x∈（x₀，+∞）時，h（x）＞h（x₀）=0⇒g′（x）＞0；
∴g（x）在x∈（1，x₀）時單調(diào)遞減；在x∈（x₀，+∞）時，單調(diào)遞增；
∴[g（x）min]=g（x₀）=$\frac{{x}_{0}{（x}_{0}-1）}{{x}_{0}-1}$=x₀，
由題意k＜[g（x）]_min=x₀，
∵k∈Z，
∴k的最大值是3．

點評 本題考查導(dǎo)數(shù)知識的綜合運用，考查切線方程，考查函數(shù)的單調(diào)性與最值，考查學(xué)生分析解決問題的能力，正確構(gòu)造函數(shù)是關(guān)鍵．