Question

5．如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，D為AB的中點，點E，點F分別在BC和B₁B上，且直線DE∥平面A₁C₁F，B₁D⊥A₁F，AC⊥AB．
（1）求BE：BC的值；
（2）求證：A₁F⊥平面B₁DE．

Answer 1

分析 （1）利用直線與平面平行的性質(zhì)，證明DE∥AC，利用D為AB的中點，求BE：BC的值；
（2）證明DE⊥A₁F，利用B₁D⊥A₁F，DE∩B₁D=D，即可證明A₁F⊥平面B₁DE．

解答 解：（1）∵直線DE∥平面A₁C₁F，
∴直線DE∥A₁C₁，
∵AC∥A₁C₁，
∴DE∥AC，
∵D為AB的中點，
∴E為CB的中點，
∴BE：BC=1：2；
證明：（2）∵AC⊥AB，AC⊥A₁A，AB∩A₁A=A，
∴AC⊥平面A₁AB，
∵A₁F?平面A₁AB，
∴AC⊥A₁F，
∴DE⊥A₁F，
∵B₁D⊥A₁F，DE∩B₁D=D，
∴A₁F⊥平面B₁DE．

點評 本題考查線面平行的性質(zhì)，考查線面垂直的判定，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．