Question

12．已知函數(shù)f（x）=sinx+$\frac{2}{sinx}$，試判斷f（x）在（0，π）內(nèi)的增減性，且證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析 求出函數(shù)的導數(shù)，根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)解關(guān)于導函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義證明即可．

解答 解：∵f（x）=sinx+$\frac{2}{sinx}$，x∈（0，π），
∴f′（x）=cosx-$\frac{2cosx}{{sin}^{2}x}$=$\frac{-cosx（1{+cos}^{2}x）}{{sin}^{2}x}$，
令f′（x）＞0，即cosx＜0，解得：$\frac{π}{2}$＜x＜π，
令f′（x）＜0，即cosx＞0，解得：0＜x＜$\frac{π}{2}$，
∴f（x）在（0，$\frac{π}{2}$）遞減，在（$\frac{π}{2}$，π）遞增，
證明如下：
令0＜x₁＜x₂＜π，
∴f（x₁）-f（x₂）
=sinx₁-sinx₂+2（$\frac{1}{si{nx}_{1}}$-$\frac{1}{si{nx}_{2}}$）
=$\frac{（si{nx}_{1}-si{nx}_{2}）（si{nx}_{1}si{nx}_{2}-2）}{si{nx}_{1}si{nx}_{2}}$，
∵0＜x₁＜x₂＜π，∴0＜sinx₁sinx₂＜1，sinx₁sinx₂-2＜0，
當0＜x₁＜x₂＜$\frac{π}{2}$時，sinx₁＜sinx₂，
則f（x₁）-f（x₂）＞0，f（x）遞增，
當$\frac{π}{2}$＜x₁＜x₂＜π時，sinx₁＞sinx₂，
則f（x₁）-f（x₂）＜0，f（x）遞減，
故f（x）在（0，$\frac{π}{2}$）遞減，在（$\frac{π}{2}$，π）遞增．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性問題，考查導數(shù)的應(yīng)用以及三角函數(shù)的性質(zhì)，是一道中檔題．