【題目】在直角坐標(biāo)系中,動(dòng)圓與圓外切,且圓與直線相切,記動(dòng)圓圓心的軌跡為曲線

(1)求曲線的軌跡方程;

(2)設(shè)過定點(diǎn)的動(dòng)直線與曲線交于兩點(diǎn),試問:在曲線上是否存在點(diǎn)(與兩點(diǎn)相異),當(dāng)直線的斜率存在時(shí),直線的斜率之和為定值?若存在,求出點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.

【答案】(1);(2)答案見解析.

【解析】

(1)設(shè),圓的半徑為,由動(dòng)圓與圓外切,可得,又動(dòng)圓與直線相切,所以,兩式結(jié)合消去即可得結(jié)果;(2)設(shè)出的坐標(biāo),

直線方程為聯(lián)立直線與拋物線方程消去可得關(guān)于的一元二次方程,由韋達(dá)定理、斜率公式可得,,化為可得結(jié)果.

(1)設(shè)P(x,y),圓P的半徑為r,

因?yàn)閯?dòng)圓P與圓Q:(x-2)2+y2=1外切,

所以,①

又動(dòng)圓P與直線x=-1相切,所以r=x+1,②

由①②消去r得y2=8x,

所以曲線C的軌跡方程為y2=8x.

(2)假設(shè)存在曲線C上的點(diǎn)M滿足題設(shè)條件,不妨設(shè)M(x0,y0),A(x1,y1),B(x2,y2),

,,,

,

所以,③

顯然動(dòng)直線l的斜率存在且非零,設(shè)l:x=ty-2,

聯(lián)立方程組,消去x得y2-8ty+16=0,

由Δ>0得t>1或t<-1,

所以y1+y2=8t,y1y2=16,且y1≠y2,

代入③式得,令(m為常數(shù)),

整理得,④

因?yàn)棰苁綄?duì)任意t∈(-∞,-1)∪(1,+∞)恒成立,

所以,

所以,即M(2,4)或M(2,-4),

即存在曲線C上的點(diǎn)M(2,4)或M(2,-4)滿足題意.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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【題目】已知函數(shù)=

(1)求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間;

(2)已知在ABC中,A,B,C的對(duì)邊分別為abc,,,求.

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【題目】已知函數(shù)為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).

1)若函數(shù),求函數(shù)的極值;

2)討論函數(shù)在定義域內(nèi)極值點(diǎn)的個(gè)數(shù);

3)設(shè)直線為函數(shù)的圖象上一點(diǎn)處的切線,證明:在區(qū)間上存在唯一的,使得直線與曲線相切.

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【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,曲線的參數(shù)方程是 (為參數(shù)),以原點(diǎn)為極點(diǎn), 軸正半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系,直線的極坐標(biāo)方程為.

(Ⅰ)求曲線的普通方程與直線的直角坐標(biāo)方程;

(Ⅱ)已知直線與曲線交于, 兩點(diǎn),與軸交于點(diǎn),求.

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【題目】袋子中有四個(gè)小球,分別寫有美、麗、中、國(guó)四個(gè)字,有放回地從中任取一個(gè)小球,直到“國(guó)”兩個(gè)字都取到就停止,用隨機(jī)模擬的方法估計(jì)恰好在第三次停止的概率.利用電腦隨機(jī)產(chǎn)生03之間取整數(shù)值的隨機(jī)數(shù),分別用0,1,2,3代表中、國(guó)、美、麗這四個(gè)字,以每三個(gè)隨機(jī)數(shù)為一組,表示取球三次的結(jié)果,經(jīng)隨機(jī)模擬產(chǎn)生了以下18組隨機(jī)數(shù):

232 321 230 023 123 021 132 220 001

231 130 133 231 031 320 122 103 233

由此可以估計(jì),恰好第三次就停止的概率為

A. B. C. D.

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【題目】已知函數(shù).

(1)當(dāng)時(shí),求不等式的解集;

(2)若不等式對(duì)任意的恒成立,求的取值范圍.

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【題目】已知函數(shù).

(1)當(dāng)時(shí),求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值;

(2)若不等式恒成立,求的值.

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【題目】從某校隨機(jī)抽取100名學(xué)生,獲得了他們一周課外閱讀時(shí)間(單位:小時(shí))的數(shù)據(jù),整理得到頻數(shù)分布表和頻率分布直方圖如下.

組號(hào)

分組

頻數(shù)

1

[0,2)

6

2

[2,4)

8

3

[4,6)

17

4

[6,8)

22

5

[8,10)

25

6

[10,12)

12

7

[12,14)

6

8

[14,16)

2

9

[16,18)

2

合計(jì)

100

(1)從該校隨機(jī)選取一名學(xué)生,試估計(jì)這名學(xué)生該周課外閱讀時(shí)間少于12小時(shí)的頻率;

(2)求頻率分布直方圖中的ab的值.

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【題目】從一張半徑為3的圓形鐵皮中裁剪出一塊扇形鐵皮(如圖1陰影部分),并卷成一個(gè)深度為米的圓錐筒(如圖2.若所裁剪的扇形鐵皮的圓心角為.

1)求圓錐筒的容積;

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