Question

【題目】已知函數(shù)（為自然對數(shù)的底數(shù)）.

（1）若函數(shù)，求函數(shù)的極值；

（2）討論函數(shù)在定義域內(nèi)極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)；

（3）設(shè)直線為函數(shù)的圖象上一點(diǎn)處的切線，證明：在區(qū)間上存在唯一的，使得直線與曲線相切.

Answer 1

【答案】（1）極大值；無極小值（2）當(dāng)時(shí)，無極值點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)極值點(diǎn)；（3）證明見解析

【解析】

（1）根據(jù)，得到求導(dǎo)，利用極值點(diǎn)的定義求解.

（2）得到（且），求導(dǎo)，令，分，，兩類討論求解.

（3）設(shè)在的圖象上的切點(diǎn)為，切線的方程為，設(shè)直線與曲線相切于點(diǎn)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)值和函數(shù)值相等得到，再根據(jù)（1）中時(shí)的結(jié)論求解.

（1）因?yàn)楹瘮?shù)，

所以，

所以，

令，解得，

當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，

所以當(dāng)時(shí)，極大值,無極小值

（2）（且），

，

令，，

①當(dāng)，即當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，在和單調(diào)遞增，無極值點(diǎn)；

②當(dāng)時(shí)，即當(dāng)或時(shí)，

函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，，，

（ⅰ）當(dāng)時(shí)，

因?yàn)?/span>，所以，

所以函數(shù)在單調(diào)遞增，在和上單調(diào)減，在上單調(diào)遞增，此時(shí)函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)；

（ⅱ）當(dāng)時(shí)，

因?yàn)?/span>，

所以，此時(shí)，在和單調(diào)遞增，無極值點(diǎn).

綜上所述，當(dāng)時(shí)，函數(shù)無極值點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn).

（3）因?yàn)?/span>，

所以函數(shù)的圖象上一點(diǎn)處的切線的方程可表示為

，

設(shè)直線與曲線相切于點(diǎn)，

因?yàn)?/span>，

所以，

消去并整理，得

，

由（1）可知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在單調(diào)遞增，

又，，

所以函數(shù)在上有唯一的零點(diǎn)，又因?yàn)?/span>在單調(diào)遞增，

所以方程在上存在唯一的根，

故在區(qū)間上存在唯一的，使得直線與曲線相切.