Question

已知數(shù)列的前項和和通項滿足（，是大于0的常數(shù)，且），數(shù)列是公比不為的等比數(shù)列，.

（1）求數(shù)列的通項公式；

（2）設(shè)，是否存在實數(shù)，使數(shù)列是等比數(shù)列？若存在，求出所有可能的實數(shù)的值，若不存在說明理由；

（3）數(shù)列是否能為等比數(shù)列？若能，請給出一個符合的條件的和的組合，若不能，請說明理由.

 

Answer 1

（1）,（2）λ= 2或λ= 3,（3）不可能為等比數(shù)列.

【解析】

試題分析：（1）求一般數(shù)列通項，常利用和項與通項關(guān)系，即當(dāng)時, ,整理得，又由，得，

結(jié)合q>0知，數(shù)列是首項為q公比為的等比數(shù)列， ∴ （2）存在性問題，一般從假設(shè)存在出發(fā)，探求等量關(guān)系，將是否存在轉(zhuǎn)化為是否有解. 結(jié)合（1）知，當(dāng)q=2時，,所以,假設(shè)存在實數(shù)，使數(shù)列是等比數(shù)列，則對任意n≥2有(cn＋1＋λcn)2＝(cn＋2＋λcn＋1)(cn＋λcn 1)，將cn＝2n＋3n代入上式，整理得(2＋λ)(3＋λ)·2n·3n＝0，解得λ= 2或λ= 3.（3）首先利用特殊值探討，得出結(jié)論是數(shù)列不可能為等比數(shù)列.說明也可根據(jù)特例. 由題意得c1c3 c22＝b1q(p2＋q2 2pq)，由于p≠q時，p2＋q2＞2pq，又q及等比數(shù)列的首項b1均不為零，所以 c1c3 c22≠0，即 c22≠c1·c3. 故｛cn｝不是等比數(shù)列.

【解析】
（1）當(dāng)時,

,整理得 2分

又由，得 3分

結(jié)合q>0知，數(shù)列是首項為q公比為的等比數(shù)列， ∴ 5分

（2）結(jié)合（1）知，當(dāng)q=2時，,所以 6分

假設(shè)存在實數(shù)，使數(shù)列是等比數(shù)列，則對任意n≥2有

(cn＋1＋λcn)2＝(cn＋2＋λcn＋1)(cn＋λcn 1)，將cn＝2n＋3n代入上式，得：

[2n＋1＋3n＋1＋λ(2n＋3n)]2＝[2n＋2＋3n＋2＋λ(2n＋1＋3n＋1)]·[2n＋3n＋λ(2n 1＋3n 1)]，

即 [(2＋λ)2n＋(3＋λ)3n]2＝[(2＋λ)2n＋1＋(3＋λ)3n＋1][(2＋λ)2n 1＋(3＋λ)3n 1］，

整理得(2＋λ)(3＋λ)·2n·3n＝0，解得λ= 2或λ= 3. 10分

故存在實數(shù)實數(shù)＝ 2或 3，使數(shù)列是等比數(shù)列. 11分

（3）數(shù)列不可能為等比數(shù)列. 12分

理由如下：

設(shè)等比數(shù)列｛bn｝的公比為p，則由題設(shè)知p≠q，則cn=qn＋b1pn 1

為要證｛cn｝不是等比數(shù)列只需證c22≠c1·c3.

事實上，

c22＝（q2＋b1p）2＝q4＋2q2b1p＋b12p2， ①

c1·c3＝(q＋b1)(q3＋b1p2)＝q4＋b12p2＋b1q(p2＋q2）， ②

②-①得

c1c3 c22＝b1q(p2＋q2 2pq)

由于p≠q時，p2＋q2＞2pq，又q及等比數(shù)列的首項b1均不為零，

所以 c1c3 c22≠0，即 c22≠c1·c3. 故｛cn｝不是等比數(shù)列. 16分

考點：數(shù)列和項與通項關(guān)系，數(shù)列綜合應(yīng)用