Question

17．設(shè)△ABC的面積為S，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，$4S=\sqrt{3}（{b^2}+{c^2}-{a^2}）$．
（1）求∠A；
（2）求$sin（A+{10°}）[{1-\sqrt{3}tan（A-{{10}°}）}]$．

Answer 1

分析 （1）由已知利用三角形面積公式，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式及余弦定理化簡$tanA=\sqrt{3}$，結(jié)合A的范圍利用特殊角的三角函數(shù)值即可得解A的值．
（2）由A的值，利用三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用即可化簡得解．

解答 （本題滿分為12分）
解：（1）因為：$4S=\sqrt{3}（{b^2}+{c^2}-{a^2}）$，
所以：$4•\frac{1}{2}bcsinA=\sqrt{3}•2bccosA$，即$tanA=\sqrt{3}$，
因為：A∈（0，180°），
所以A=60°．…（6分）
（2）$原式=sin{70°}（{1-\sqrt{3}tan{{50}°}}）=sin{70°}•\frac{{cos{{50}°}-\sqrt{3}sin{{50}°}}}{{cos{{50}°}}}$…（8分）
=$sin{70°}•\frac{{-2sin{{20}°}}}{{cos{{50}°}}}=cos{20°}•\frac{{-2sin{{20}°}}}{{sin{{40}°}}}=-\frac{{sin{{40}°}}}{{sin{{40}°}}}=-1$．…（12分）

點評 本題主要考查了三角形面積公式，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式及余弦定理，特殊角的三角函數(shù)值，三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用在解三角形中的綜合應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．