Question

12．已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，點$（{n，\frac{S_n}{n}}）$在直線y=x+4上．數(shù)列{b_n}滿足b_n+2-2b_n+1+b_n=0（n∈N^*），且b₄=8，前11項和為154．
（1）求數(shù)列{a_n}、{b_n}的通項公式；
（2）設$f（n）=\left\{\begin{array}{l}{a_n}，（n=2l-1，l∈{N^*}）\\{b_n}，（n=2l，l∈{N^*}）.\end{array}\right.$是否存在m∈N^*，使得f（m+9）=3f（m）成立？若存在，求出m的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）將點$（{n，\frac{S_n}{n}}）$代入直線y=x+4上，求得${S_n}={n^2}+4n$，當n=1時，a₁=S₁=5，當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=2n+3．由即b_n+2-b_n+1=b_n+1-b_n，{b_n}為等差數(shù)列，$\frac{{11（{b_4}+{b_8}）}}{2}=154$．b₄=8，即可求得公差d，即可求得{b_n}的通項公式；
（2）由題意可知，當m為奇數(shù)時，m+9為偶數(shù)，3f（m）=6m+9，求得$m=\frac{14}{3}∉{N^*}$，舍去，同理當m為偶數(shù)時，m+9為奇數(shù)，求得$m=\frac{33}{7}∉{N^*}$（舍去），故不存在正整數(shù)m，使得f（m+9）=3f（m）成立．

解答 解：（1）由題意，得$\frac{S_n}{n}=n+4$，即${S_n}={n^2}+4n$．
故當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=n²+4n-（n-1）²-4（n-1）=2n+3．
注意到n=1時，a₁=S₁=5，而當n=1時，n+4=5，
∴a_n=2n+3（n∈N^*）．
又b_n+2-2b_n+1+b_n=0，即b_n+2-b_n+1=b_n+1-b_n（n∈N^*），
∴{b_n}為等差數(shù)列，于是$\frac{{11（{b_4}+{b_8}）}}{2}=154$．
而b₄=8，故b₈=20，$d=\frac{20-8}{4}=3$，
∴b_n=b₄+3（n-4）=3n-4，
即b_n=b₄+3（n-4）=3n-4（n∈N^*）．       …（6分）
（2）$f（n）=\left\{\begin{array}{l}2n+3（n=2l-1，l∈{N^*}）\\ 3n-4（n=2l，l∈{N^*}）\end{array}\right.$，
①當m為奇數(shù)時，m+9為偶數(shù)．
此時f（m+9）=3（m+9）-4=3m+23，3f（m）=6m+9
∴3m+23=6m+9，$m=\frac{14}{3}∉{N^*}$（舍去）
②當m為偶數(shù)時，m+9為奇數(shù)．
此時，f（m+9）=2（m+9）+3=2m+21，3f（m）=9m-12，
所以2m+21=9m-12，$m=\frac{33}{7}∉{N^*}$（舍去）．
綜上，不存在正整數(shù)m，使得f（m+9）=3f（m）成立．     …（12分）

點評 本題考查等差數(shù)列通項公式及前n項和公式的應用，考查等差數(shù)列的性質(zhì)，考查計算能力，屬于中檔題．