Question

19．已知f（x）是定義在[-1，1]上的奇函數(shù)，對(duì)任意的x₁，x₂∈[-1，1]，均有（x₂-x₁）（f（x₂）-f（x₁））≥0．當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，2f（$\frac{x}{5}$）=f（x），f（x）=1-f（1-x），則f（-$\frac{290}{2016}$）+f（-$\frac{291}{2016}$）+…+f（-$\frac{314}{2016}$）+f（-$\frac{315}{2016}$）=（　　）

• A． -$\frac{11}{2}$
• B． -6
• C． -$\frac{13}{2}$
• D． -$\frac{25}{4}$

Answer 1

分析 由f（x）=1-f（1-x），得 f（1）=1，確定f（$\frac{290}{2016}$）=$\frac{1}{4}$，利用f（x）是奇函數(shù)，即可得出結(jié)論．

解答 解：由f（x）=1-f（1-x），得 f（1）=1，
令x=$\frac{1}{2}$，則f（$\frac{1}{2}$）=$\frac{1}{2}$，
∵當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，2f（$\frac{x}{5}$）=f（x），
∴f（$\frac{x}{5}$）=$\frac{1}{2}$f（x），
即f（$\frac{1}{5}$）=$\frac{1}{2}$f（1）=$\frac{1}{2}$，
f（$\frac{1}{25}$）=$\frac{1}{2}$f（$\frac{1}{5}$）=14，
f（$\frac{1}{10}$）=$\frac{1}{2}$f（$\frac{1}{2}$）=14，
∵$\frac{1}{25}$＜$\frac{290}{2016}$＜$\frac{1}{10}$，
∵對(duì)任意的x₁，x₂∈[-1，1]，均有（x₂-x₁）（f（x₂）-f（x₁））≥0
∴f（$\frac{290}{2016}$）=$\frac{1}{4}$，
同理f（$\frac{291}{2016}$）=…=f（-$\frac{314}{2016}$）=f（$\frac{315}{2016}$）=$\frac{1}{4}$．
∵f（x）是奇函數(shù)，
∴f（-$\frac{290}{2016}$）+f（-$\frac{291}{2016}$）+…+f（-$\frac{314}{2016}$）+f（-$\frac{315}{2016}$）
=-[f（-$\frac{290}{2016}$）+f（$\frac{291}{2016}$）+…+f（$\frac{314}{2016}$）+f（$\frac{315}{2016}$）]=-$\frac{13}{2}$，
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性，考查函數(shù)值的計(jì)算，屬于中檔題．