【題目】已知函數(shù) (其中e是自然對數(shù)的底數(shù),k∈R).
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性;
(2)當(dāng)函數(shù)有兩個零點時,證明: .
【答案】(1)見解析;(2)見解析.
【解析】試題分析:
本題考查導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系以及用導(dǎo)數(shù)證明不等式的問題。(1)求導(dǎo)數(shù)后,根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的符號判斷出函數(shù)的單調(diào)性。(2)根據(jù)題意將證明的問題轉(zhuǎn)化為證明,即證,構(gòu)造函數(shù),
利用函數(shù)的單調(diào)性證明即可。
試題解析:
(1)解:∵
∴。
①當(dāng)時,令,解得,
∴當(dāng)時,,單調(diào)遞減;
當(dāng)時,,單調(diào)遞增。
②當(dāng)時,恒成立,
∴函數(shù)在R上單調(diào)遞增.
綜上,當(dāng)時,在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增。
當(dāng)時,在R上單調(diào)遞增.
(2)證明:當(dāng)時,由(1)知函數(shù)單調(diào)遞增,不存在兩個零點。
所以。
設(shè)函數(shù)的兩個零點為,
則,
設(shè),
解得,
所以,
要證,
只需證,
設(shè)
設(shè)單調(diào)遞增,
所以,
所以在區(qū)間上單調(diào)遞增,
所以,
故.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標系xOy中,C1的參數(shù)方程為 (t為參數(shù)),在以坐標原點為極點,x軸正半軸為極軸的極坐標系中,C2的極坐標方程ρ2-2ρcos θ-3=0.
(Ⅰ)說明C2是哪種曲線,并將C2的方程化為普通方程;
(Ⅱ)C1與C2有兩個公共點A,B,定點P的極坐標,求線段AB的長及定點P到A,B兩點的距離之積.
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【題目】如圖所示的多面體中,底面ABCD為正方形,△GAD為等邊三角形,BF⊥平面ABCD,∠GDC=90°,點E是線段GC上除兩端點外的一點,若點P為線段GD的中點.
(Ⅰ)求證:AP⊥平面GCD;
(Ⅱ)求證:平面ADG∥平面FBC;
(Ⅲ)若AP∥平面BDE,求的值.
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【題目】已知橢圓E: 經(jīng)過點,離心率為.
(1)求橢圓E的標準方程;
(2)若A1,A2分別是橢圓E的左、右頂點,過點A2作直線l與x軸垂直,點P是橢圓E上的任意一點(不同于橢圓E的四個頂點),連接PA1交直線l于點B,點Q為線段A2B的中點,求證:直線PQ與橢圓E只有一個公共點.
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【題目】如圖,已知拋物線x2=y,點,拋物線上的點,過點B作直線AP的垂線,垂足為Q.
(1)求直線AP斜率的取值范圍;
(2)求|PA|·|PQ|的最大值.
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【題目】如圖,在四棱錐P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,AB⊥AD,,AC=AD=CD,E是AD的中點.
(Ⅰ)證明CE∥平面PAB;
(Ⅱ)證明:平面PAD⊥平面PCE.
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【題目】如圖,在三棱柱ABC-A1B1C1中,CC1⊥平面ABC,M是CC1中點.
(Ⅰ)求證:平面AB1M⊥平面A1ABB1;
(Ⅱ)過點C作一截面與平面AB1M平行,并說明理由.
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【題目】已知橢圓C: (a>b>0),長軸長為4,離心率為.
(Ⅰ)橢圓的求橢圓的標準方程;
(Ⅱ)設(shè)過定點M(0,2)的直線l與橢圓C交于不同的兩點A,B,且∠AOB為銳角(O為坐標原點),求直線l的斜率k的取值范圍.
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【題目】某校對2000名高一新生進行英語特長測試選拔,現(xiàn)抽取部分學(xué)生的英語成績,將所得數(shù)據(jù)整理后得出頻率分布直方圖如圖所示,圖中從左到右各小長方形面積之比為,第二小組頻數(shù)為12.
(Ⅰ)求第二小組的頻率及抽取的學(xué)生人數(shù);
(Ⅱ)若分數(shù)在120分以上(含120分)才有資格被錄取,約有多少學(xué)生有資格被錄?
(Ⅲ)學(xué)校打算從分數(shù)在和分內(nèi)的學(xué)生中,按分層抽樣抽取4人進行改進意見問卷調(diào)查,若調(diào)查老師隨機從這4人的問卷中(每人一份)隨機抽取兩份調(diào)閱,求這兩份問卷都來自英語測試成績在分的學(xué)生的概率.
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