Question

【題目】已知函數(shù) (其中e是自然對數(shù)的底數(shù)，k∈R)．

(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；

(2)當函數(shù)有兩個零點時，證明： ．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析.

【解析】試題分析：

本題考查導數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系以及用導數(shù)證明不等式的問題。（1）求導數(shù)后，根據(jù)導函數(shù)的符號判斷出函數(shù)的單調(diào)性。（2）根據(jù)題意將證明的問題轉(zhuǎn)化為證明，即證，構(gòu)造函數(shù)，

利用函數(shù)的單調(diào)性證明即可。

試題解析：

（1）解：∵

∴。

①當時，令，解得，

∴當時，，單調(diào)遞減；

當時，，單調(diào)遞增。

②當時，恒成立，

∴函數(shù)在R上單調(diào)遞增.

綜上，當時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增。

當時，在R上單調(diào)遞增.

（2）證明：當時，由（1）知函數(shù)單調(diào)遞增，不存在兩個零點。

所以。

設函數(shù)的兩個零點為，

則，

設，

解得，

所以，

要證，

只需證，

設

設單調(diào)遞增，

所以，

所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，

所以，

故．