【題目】已知橢圓C: (a>b>0),長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4,離心率為.
(Ⅰ)橢圓的求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(Ⅱ)設(shè)過(guò)定點(diǎn)M(0,2)的直線l與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)A,B,且∠AOB為銳角(O為坐標(biāo)原點(diǎn)),求直線l的斜率k的取值范圍.
【答案】(Ⅰ) +y2=1(Ⅱ)k∈(-2,- )∪(,2).
【解析】試題分析:(1)由題意可得,解得即可;
(2)直線的方程為,設(shè).與橢圓方程聯(lián)立,由,解得 的取值范圍.可得根與系數(shù)的關(guān)系.若 為銳角,則,把根與系數(shù)的關(guān)系代入又得到的取值范圍,取其交集即可.
試題解析:(Ⅰ)依題意, ,解得,
故橢圓C的方程為+y2=1.
(Ⅱ)如圖,依題意,直線l的斜率必存在,
設(shè)直線l的方程為y=kx+2,A(x1,y1),B(x2,y2),
聯(lián)立方程組,消去y整理得(1+4k2)x2+16kx+12=0,
由韋達(dá)定理,x1+x2=,x1x2=,
∴y1y2=(kx1+2)(kx2+2)=k2x1x2+2k(x1+x2)+4=++4=,
因?yàn)橹本l與橢圓C相交,則Δ>0,
即256k2-48(1+4k2)>0,
解得k<-或k>,
當(dāng)∠AOB為銳角時(shí),向量,則x1x2+y1y2>0,
即+>0,解得-2<k<2,
故當(dāng)∠AOB為銳角時(shí),k∈(-2,- )∪(,2).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知a,b分別是△ABC內(nèi)角A,B的對(duì)邊,且bsin2A=acos Asin B,函數(shù)f(x)=sin Acos2x-sin2sin 2x,x∈.
(1)求A;
(2)求函數(shù)f(x)的值域.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù) (其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù),k∈R).
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性;
(2)當(dāng)函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)時(shí),證明: .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在三棱錐PABC中,不能證明AP⊥BC的條件是( )
A. AP⊥PB,AP⊥PC
B. AP⊥PB,BC⊥PB
C. 平面BPC⊥平面APC,BC⊥PC
D. AP⊥平面PBC
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知(為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).
(Ⅰ)討論的單調(diào)性;
(Ⅱ)若有兩個(gè)零點(diǎn),求的取值范圍;
(2)在(1)的條件下,求證: .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)向量, ,記
(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期;
(2)試用“五點(diǎn)法”畫(huà)出函數(shù)f(x)在區(qū)間上的簡(jiǎn)圖,并指出該函數(shù)的圖象可由y=sin x(x∈R)的圖象經(jīng)過(guò)怎樣的平移和伸縮變換得到;
(3)若函數(shù)g(x)=f(x)+m, 的最小值為2,試求出函數(shù)g(x)的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某中學(xué)高三文科班學(xué)生參加了數(shù)學(xué)與地理水平測(cè)試,學(xué)校從測(cè)試合格的學(xué)生中隨機(jī)抽取100人的成績(jī)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析.抽取的100人的數(shù)學(xué)與地理的水平測(cè)試成績(jī)?nèi)缦卤恚?/span>
成績(jī)分為優(yōu)秀、良好、及格三個(gè)等級(jí),橫向、縱向分別表示地理成績(jī)與數(shù)學(xué)成績(jī),例如:表中數(shù)學(xué)成績(jī)?yōu)榱己玫墓灿?0+18+4=42人.
(1)若在該樣本中,數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀率為30%,求a,b的值;
(2)若樣本中,求在地理成績(jī)及格的學(xué)生中,數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀的人數(shù)比及格的人數(shù)少的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)a為實(shí)數(shù),函數(shù)f(x)=x2+|x-a|+1,x∈R.
(1)討論f(x)的奇偶性;
(2)求f(x)的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】四棱錐S-ABCD中的底面是菱形,∠BAD=60°,SD⊥底面ABCD,SD=AB=2,E、F分別為SB、CD的中點(diǎn).
(Ⅰ)求證:EF∥平面SAD;
(Ⅱ)點(diǎn)P是SB上一點(diǎn),若SB⊥平面APC,試確定點(diǎn)P的位置.
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