Question

7．已知f（x）=|x-m|+2m．
（1）若不等式f（x）≤2的解集為單元素集，求實(shí)數(shù)m的值；
（2）在（1）的條件下，若存在x₀∈R，使得f（x₀）+f（-x₀）≤a成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）先解不等式，再利用不等式f（x）≤2的解集為單元素集，求實(shí)數(shù)m的值；
（2）存在x₀∈R，使得f（x₀）+f（-x₀）≤a成立，則|x₀-1|+2+|-x₀-1|+2≤a，即|x₀-1|+|-x₀-1|≤a-4，求出左邊的最小值，即可求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答 解：（1）由題意|x-m|≤2-2m，
∴3m-2≤x≤2-m，
∵不等式f（x）≤2的解集為單元素集，
∴3m-2=2-m，
∴m=1；
（2）f（x）=|x-1|+2，
存在x₀∈R，使得f（x₀）+f（-x₀）≤a成立，則|x₀-1|+2+|-x₀-1|+2≤a，
∴|x₀-1|+|-x₀-1|≤a-4，
∵|x₀-1|+|-x₀-1|≥|x₀-1-x₀-1|=2，
∴a-4≥2，
∴a≥6．

點(diǎn)評(píng) 本題考查絕對(duì)值不等式，考查學(xué)生分析解決問題的能力，正確轉(zhuǎn)化是關(guān)鍵．