Question

6．設(shè)函數(shù)$f（x）={e^{|x|}}-\frac{2}{{{x^2}+3}}$，則使得f（x）＞f（2x-1）成立的x的取值范圍是（　�。�

• A． $（\frac{1}{3}，1）$
• B． $（-∞，\frac{1}{3}）∪（1，+∞）$
• C． $（-\frac{1}{3}，\frac{1}{3}）$
• D． $（-∞，-\frac{1}{3}）∪（\frac{1}{3}，+∞）$

Answer 1

分析 根據(jù)f（x）解析式可以判斷f（x）在[0，+∞）上為增函數(shù)，在R上為偶函數(shù)，從而由f（x）＞f（2x-1）便可得到|x|＞|2x-1|，兩邊平方即可解出該不等式，從而得出x的取值范圍．

解答 解：x≥0時(shí)，f（x）=e^x-$\frac{2}{{x}^{2}+3}$，
∴x增大時(shí)e^x增大，x²增大，即f（x）增大；
∴f（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞增；
f（x）的定義域?yàn)镽，且f（-x）=f（x）；
∴f（x）為偶函數(shù)；
∴由f（x）＞f（2x-1）得：f（|x|）＞f（|2x-1|）
∴|x|＞|2x-1|；
∴x²＞（2x-1）²；
解得：$\frac{1}{3}$＜x＜1；
∴x的取值范圍為（$\frac{1}{3}$，1）．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 考查指數(shù)函數(shù)、二次函數(shù)的單調(diào)性，增函數(shù)的定義，偶函數(shù)的定義，以及通過兩邊平方解絕對(duì)值不等式的方法．