Question

14．如圖，三個邊長為2的等邊三角形有一條邊在同一條直線上，邊B₃C₃上有10個不同的點P₁，P₂，…P₁₀，記m_i=$\overrightarrow{A{B}_{2}}$•$\overrightarrow{A{P}_{i}}$（i=1，2，3，…，10），則m₁+m₂+…+m₁₀的值為180．

Answer 1

分析 以A為坐標(biāo)原點，AC₁所在直線為x軸建立直角坐標(biāo)系，可得B₂（3，$\sqrt{3}$），B₃（5，$\sqrt{3}$），C₃（6，0），求出直線B₃C₃的方程，可設(shè)P_i（x_i，y_i），可得$\sqrt{3}$x_i+y_i=6$\sqrt{3}$，運(yùn)用向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示，計算即可得到所求和．

解答 解：以A為坐標(biāo)原點，AC₁所在直線為x軸建立
直角坐標(biāo)系，
可得B₂（3，$\sqrt{3}$），B₃（5，$\sqrt{3}$），C₃（6，0），
直線B₃C₃的方程為y=-$\sqrt{3}$（x-6），
可設(shè)P_i（x_i，y_i），可得$\sqrt{3}$x_i+y_i=6$\sqrt{3}$，
即有m_i=$\overrightarrow{A{B}_{2}}$•$\overrightarrow{A{P}_{i}}$=3x_i+$\sqrt{3}$y_i
=$\sqrt{3}$（$\sqrt{3}$x_i+y_i）=18，
則m₁+m₂+…+m₁₀=18×10=180．
故答案為：180．

點評 本題考查向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示，注意運(yùn)用直線方程，考查化簡整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．