Question

8．設(shè)函數(shù)f（x）=sinx+cos（x+$\frac{π}{6}$），x∈R
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的最小正周期及其在區(qū)間[0，$\frac{π}{2}$]上的值域；
（Ⅱ）記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若f（A）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，且a=$\frac{\sqrt{3}}{2}b$，求角B的大�。�

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用和與差的公式以及輔助角公式化簡，即可求解最小正周期，x在[0，$\frac{π}{2}$]上，求出內(nèi)層函數(shù)范圍，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)可得值域；
（Ⅱ）由f（A）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，根據(jù)解析式求出A的大�。產(chǎn)=$\frac{\sqrt{3}}{2}b$，利用正弦定理解角B的大�。�

解答 解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）=sinx+cos（x+$\frac{π}{6}$），x∈R．
化簡可得：f（x）=sinx+cosxcos$\frac{π}{6}$-sinxsin$\frac{π}{6}$=$\frac{1}{2}$sinx+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosx=sin（x+$\frac{π}{3}$），
∴函數(shù)f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{1}=2π$，
∵x∈[0，$\frac{π}{2}$]，
∴$\frac{π}{3}≤x+\frac{π}{3}≤\frac{5π}{6}$，
$\frac{1}{2}≤$sin（x+$\frac{π}{3}$）≤1，
∴x∈[0，$\frac{π}{2}$]上f（x）的值域為[$\frac{1}{2}$，1]；
（Ⅱ）由f（A）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，即 sin（A+$\frac{π}{3}$）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∵0＜A＜π，
∴$\frac{π}{3}$＜A$+\frac{π}{3}$＜$\frac{4π}{3}$，
則A+$\frac{π}{3}$=$\frac{2π}{3}$，
可得：A=$\frac{π}{3}$，
∵a=$\frac{\sqrt{3}}{2}b$，
由正弦定理：$\frac{a}{sinA}=\frac{sinB}$，
可得sinB=1，
∵0＜B＜π，
∴B=$\frac{π}{2}$．

點評 本題考查了三角函數(shù)的化解和性質(zhì)的性質(zhì)，正弦定理的計算．屬于中檔題．