Question

13．在直角坐標系中，以坐標原點為極點，x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系．已知點A的極坐標為（$\sqrt{2}$，$\frac{π}{4}$），直線l的極坐標方程為ρcos（θ-$\frac{π}{4}$）=a，且點A在直線l上．
（1）求a的值及直線l的直角坐標方程；
（2）圓C的極坐標方程為ρ=2cosα，試判斷直線l與圓C的位置關(guān)系．

Answer 1

分析 （1）由點A在直線l上，代入可得$\sqrt{2}$cos（$\frac{π}{4}$-$\frac{π}{4}$）=a，解得a．由ρcos（θ-$\frac{π}{4}$）=$\sqrt{2}$，展開化為：$\frac{\sqrt{2}}{2}ρ（cosθ+sinθ）$=$\sqrt{2}$，利用互化公式即可得出．
（2）圓C的極坐標方程為ρ=2cosα，即ρ²=2ρcosα，化為：（x-1）²+y²=1．可得圓心，半徑，求出圓心到直線的距離d，與半徑r比較大小關(guān)系，即可得出．

解答 解：（1）由點A在直線l上，∴$\sqrt{2}$cos（$\frac{π}{4}$-$\frac{π}{4}$）=a，解得a=$\sqrt{2}$．
ρcos（θ-$\frac{π}{4}$）=$\sqrt{2}$，展開化為：$\frac{\sqrt{2}}{2}ρ（cosθ+sinθ）$=$\sqrt{2}$，
從而直線l的直角坐標方程為：x+y-2=0．
（2）圓C的極坐標方程為ρ=2cosα，即ρ²=2ρcosα，
化為：x²+y²=2x，配方為：（x-1）²+y²=1．
∴圓心為（1，0），半徑r=1，
∴為圓心到直線的距離d=$\frac{|1+0-2|}{\sqrt{2}}$=$\frac{1}{\sqrt{2}}$＜1．
所以直線與圓相交．

點評 本題考查了極坐標方程化為直角坐標方程、直線與圓的位置關(guān)系、點到直線的距離公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．