Question

4．已知數(shù)列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=2a_n+1．
（Ⅰ）求a₂，a₃，a₄，a₅；
（Ⅱ）猜想a_n的表達(dá)式，并用數(shù)學(xué)歸納法加以證明．

Answer 1

分析 （I）根據(jù)遞推式a_n+1=2a_n+1依次計(jì)算；
（II）根據(jù)計(jì)算結(jié)果猜想通項(xiàng)公式，先驗(yàn)證n=1是否成立，再假設(shè)n=k成立，推導(dǎo)a_k+1即可．

解答 解：（I）a₂=2a₁+1=3，
a₃=2a₂+1=7，
a₄=2a₃+1=15，
a₅=2a₄+1=31．
（II）猜想：a_n=2ⁿ-1，
證明：
當(dāng)n=1時(shí)，顯然2¹-1=1，猜想成立．
假設(shè)n=k時(shí)猜想成立，即a_k=2^k-1，
則a_k+1=2a_k+1=2（2^k-1）+1=2^k+1-1，
∴當(dāng)n=k+1時(shí)，猜想成立．
∴a_n=2ⁿ-1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)學(xué)歸納法，需熟練歸納法證明的步驟，屬于中檔題．