Question

在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F(xiàn)分別是AB，BC中點．
（1）證明：EF與BD₁，EF與BC₁互為異面直線；
（2）求異面直線EF與BC₁所成的角．

Answer 1

考點：異面直線及其所成的角,異面直線的判定

專題：計算題,證明題,空間位置關系與距離,空間角

分析：（1）運用異面直線的判定定理：過平面內(nèi)一點和平面外一點的直線和平面內(nèi)不經(jīng)過該點的直線是異面直線，即可得證；
（2）運用中位線定理和平移法，結合正方體的邊與對角線的關系，即可得到所求值．

解答： （1）證明：由于直線EF在平面ABCD內(nèi)，B在平面ABCD內(nèi)，B不在直線EF上，
D₁不在平面ABCD內(nèi)，則有異面直線的判定定理，可得，EF，BD₁為異面直線；
由于直線EF在平面ABCD內(nèi)，B在平面ABCD內(nèi)，B不在直線EF上，
C₁不在平面ABCD內(nèi)，則有異面直線的判定定理，可得，EF，BC₁為異面直線；
（2）解：E，F(xiàn)分別是AB，BC中點，連接AC，則AC∥EF，
連接AD₁，則AD₁∥BC₁，則∠D₁AC即為異面直線EF與BC₁所成的角．
連接CD₁，則△ACD₁即為等邊三角形，
則有∠D₁AC=60°，
則異面直線EF與BC₁所成的角為60°．

點評：本題考查異面直線的判斷和所成的角的求法，考查運用異面直線的判定定理和平移法，屬于基礎題．