Question

13．已知命題：
①若A、B、C、D是空間任意四點(diǎn)，則有$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{BC}$+$\overrightarrow{CD}$+$\overrightarrow{DA}$=$\overrightarrow{0}$；
②$\overrightarrow$≠$\overrightarrow{0}$，則$\overrightarrow{a}$和$\overrightarrow$共線(xiàn)的充要條件是：?λ∈R，使$\overrightarrow{a}$=λ$\overrightarrow$；
③若$\overrightarrow{a}$和$\overrightarrow$共線(xiàn)，則$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$所在直線(xiàn)平行；
④對(duì)空間任意一點(diǎn)O與不共線(xiàn)的三點(diǎn)A、B、C，若$\overrightarrow{OP}$=x$\overrightarrow{OA}$+y$\overrightarrow{OB}$+z$\overrightarrow{OC}$（其中x、y、z∈R），且x+y+z=1，則P、A、B、C四點(diǎn)共面．則上述命題中正確命題的個(gè)數(shù)是（　�。�

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 根據(jù)向量的加法法則進(jìn)行判斷①；利用共線(xiàn)向量基本定理判斷②；由向量共線(xiàn)的幾何意義知所在的線(xiàn)平行或重合判斷③；根據(jù)空間四點(diǎn)共面的等價(jià)條件進(jìn)行判斷④．

解答 解：①若A、B、C、D是空間任意四點(diǎn)，則有$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{BC}$+$\overrightarrow{CD}$+$\overrightarrow{DA}$=$\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DA}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DA}$=$\overrightarrow{0}$，故①正確；
②由共線(xiàn)向量基本定理可知，$\overrightarrow$≠$\overrightarrow{0}$，則$\overrightarrow{a}$和$\overrightarrow$共線(xiàn)的充要條件是：?λ∈R，使$\overrightarrow{a}$=λ$\overrightarrow$，故②正確；
③若$\overrightarrow{a}$和$\overrightarrow$共線(xiàn)，則$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$所在直線(xiàn)平行或重合，故③錯(cuò)誤；
④對(duì)空間任意一點(diǎn)O與不共線(xiàn)的三點(diǎn)A、B、C，若$\overrightarrow{OP}$=x$\overrightarrow{OA}$+y$\overrightarrow{OB}$+z$\overrightarrow{OC}$（其中x、y、z∈R），
且x+y+z=1，則P、A、B、C四點(diǎn)共面，故④正確．
∴正確命題的個(gè)數(shù)是3個(gè)．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查與向量有關(guān)的命題的真假判斷，要求熟練掌握向量的有關(guān)概念，考查學(xué)生的推理判斷能力，是中檔題．