Question

18．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{（a-1）x+4，x≤7}\\{2{a}^{x-6}，x＞7}\end{array}\right.$（a＞0，a≠1），b_n=f（n）（n∈N^*），{b_n}是遞減數(shù)列，則a的取值范圍（$\frac{1}{2}$，1）．

Answer 1

分析 根據(jù)題意，討論n的值，利用{b_n}是單調(diào)減數(shù)列，列出關(guān)于a的不等式，求出解集即可．

解答 解：∵函數(shù)函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{（a-1）x+4，x≤7}\\{2{a}^{x-6}，x＞7}\end{array}\right.$（a＞0，a≠1），
且b_n=f（n）（n∈N^*），{b_n}是遞減數(shù)列；
∴當(dāng)n≤7時，b_n=（a-1）n+4；
∴a-1＜0，
解得a＜1，
此時最小項為b₇=7（a-1）+4=7a-3；
當(dāng)n＞7時，b_n=2a^n-6；
∴0＜a＜1，
此時最大項為b₈=2a²；
∴b₇＞b₈，
即7a-3＞2a²，
解得$\frac{1}{2}$＜a＜3，
綜上，實數(shù)a的取值范圍是（$\frac{1}{2}$，1）．
故答案為：（$\frac{1}{2}$，1）．

點評 本題考查了數(shù)列與分段函數(shù)的應(yīng)用問題，解題時應(yīng)討論n的取值，是綜合性題目．