Question

3．已知函數f（x）=$\frac{1}{3}$x³+x²+ax，若g（x）=$\frac{1}{e^x}$，對任意x₁∈[$\frac{1}{2}$，2]，存在x₂∈[$\frac{1}{2}$，2]，使f'（x₁）≤g（x₂）成立，則實數a的取值范圍是$（-∞，\frac{{\sqrt{e}}}{e}-8]$．

Answer 1

分析 由題意在[$\frac{1}{2}$，2]上，[f'（x）]_max≤[g（x）]_max，求出f'（x）_max=f'（2）=8+a，$g{（x）_{max}}=g（\frac{1}{2}）=\frac{{\sqrt{e}}}{e}$，由此能求出實數a的取值范圍．

解答 解：對任意${x_1}∈[\frac{1}{2}，2]$，存在${x_2}∈[\frac{1}{2}，2]$，使f'（x₁）≤g（x₂），
∴[f'（x）]_max≤[g（x）]_max，
∵函數f（x）=$\frac{1}{3}$x³+x²+ax，g（x）=$\frac{1}{e^x}$，
∴f′（x）=x²+2x+a=（x+1）²+a-1，
∵f'（x）=（x+1）²+a-1在$[\frac{1}{2}，2]$上單調遞增，
∴f'（x）_max=f'（2）=8+a，
g（x）在$[\frac{1}{2}，2]$上單調遞減，則$g{（x）_{max}}=g（\frac{1}{2}）=\frac{{\sqrt{e}}}{e}$，
∴$8+a≤\frac{{\sqrt{e}}}{e}$，解得$a≤\frac{{\sqrt{e}}}{e}-8$．
∴實數a的取值范圍是$（-∞，\frac{{\sqrt{e}}}{e}-8]$．
故答案為：$（-∞，\frac{{\sqrt{e}}}{e}-8]$．

點評 本題考查實數的取值范圍的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意導數性質的合理運用．