分析 (1)以A為原點,AB為x軸,AC為y軸,AA1為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量法能證明PN⊥AM.
(2)求出平面PMN的一個法向量,由此利用向量法能求出sinθ,即可求cosθ的值.
解答 (1)證明:以A為原點,AB為x軸,AC為y軸,AA1為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,
則A(0,0,0),B(1,0,0),C(0,1,0),C1(0,1,1),P($\frac{1}{2}$,0,1),M(0,1,$\frac{1}{2}$),N($\frac{1}{2}$,$\frac{1}{2}$,0),
$\overrightarrow{NP}$=(0,-$\frac{1}{2}$,1),$\overrightarrow{AM}$=(0,1,$\frac{1}{2}$),
∵$\overrightarrow{NP}•\overrightarrow{AM}$=0+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{2}$=0,
∴PN⊥AM.
(2)解:設(shè)平面PMN的一個法向量為$\overrightarrow{{n}_{1}}$=(x,y,z),
$\overrightarrow{NP}$=(0,-$\frac{1}{2}$,1),$\overrightarrow{NM}$=(-$\frac{1}{2}$,$\frac{1}{2}$,$\frac{1}{2}$),
則$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1}{2}y+z=0}\\{-\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}z=0}\end{array}\right.$,
令y=2,得$\overrightarrow{n}$=(3,2,1),
又$\overrightarrow{MB}$=(1,-1,-$\frac{1}{2}$),
∴sinθ=$\frac{\frac{1}{2}}{\frac{3}{2}×\sqrt{14}}$=$\frac{\sqrt{14}}{42}$,
∴cosθ=$\frac{5\sqrt{70}}{42}$.
點評 本題考查異面直線垂直的證明,考查線面角的余弦值的求法,是中檔題,解題時要認(rèn)真審題,注意向量法的合理運(yùn)用.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | 四面體的棱長 | B. | 四面體的斜高 | ||
C. | 四面體的高 | D. | 四面體兩對棱間的距離 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | [0,+∞) | B. | (-∞,$\frac{1}{2}$] | C. | [$\frac{1}{2}$,+∞) | D. | (-∞,+∞) |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | $±\sqrt{2}$ | B. | $\sqrt{2}$ | C. | -$\sqrt{2}$ | D. | 以上答案都不對 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
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