Question

13．如圖，已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁的側面與底面垂直，AA₁=AB=AC=1，AB⊥AC，M，N，P分別是CC₁，BC，A₁B₁的中點．
（1）求證：PN⊥AM；
（2）若直線MB與平面PMN所成的角為θ，求cosθ的值．

Answer 1

分析 （1）以A為原點，AB為x軸，AC為y軸，AA₁為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能證明PN⊥AM．
（2）求出平面PMN的一個法向量，由此利用向量法能求出sinθ，即可求cosθ的值．

解答 （1）證明：以A為原點，AB為x軸，AC為y軸，AA₁為z軸，建立空間直角坐標系，
則A（0，0，0），B（1，0，0），C（0，1，0），C₁（0，1，1），P（$\frac{1}{2}$，0，1），M（0，1，$\frac{1}{2}$），N（$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$，0），
$\overrightarrow{NP}$=（0，-$\frac{1}{2}$，1），$\overrightarrow{AM}$=（0，1，$\frac{1}{2}$），
∵$\overrightarrow{NP}•\overrightarrow{AM}$=0+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{2}$=0，
∴PN⊥AM．
（2）解：設平面PMN的一個法向量為$\overrightarrow{{n}_{1}}$=（x，y，z），
$\overrightarrow{NP}$=（0，-$\frac{1}{2}$，1），$\overrightarrow{NM}$=（-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$），
則$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1}{2}y+z=0}\\{-\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}z=0}\end{array}\right.$，
令y=2，得$\overrightarrow{n}$=（3，2，1），
又$\overrightarrow{MB}$=（1，-1，-$\frac{1}{2}$），
∴sinθ=$\frac{\frac{1}{2}}{\frac{3}{2}×\sqrt{14}}$=$\frac{\sqrt{14}}{42}$，
∴cosθ=$\frac{5\sqrt{70}}{42}$．

點評 本題考查異面直線垂直的證明，考查線面角的余弦值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．