Question

16．袋中共有8個球，其中有3個白球，5個黑球，這些球除顏色外完全相同．從袋中隨機取出一球，如果取出白球，則把它放回袋中；如果取出黑球，則該黑球不再放回，并且另補一個白球放入袋中．
（1）重復(fù)上述過程2次后，求袋中有4個白球的概率．
（2）重復(fù)上述過程3次后，記袋中白球的個數(shù)為X，求X的數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意得當袋中有4個白球時，二次摸球恰好摸到一白球一黑球，由此能求出袋中有4個白球的概率．
（Ⅱ）由題意X的所有可能取值為3，4，5，6，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出X的分布列和E（X）．

解答 解：（Ⅰ）由題意得當袋中有4個白球時，
二次摸球恰好摸到一白球一黑球，
∴袋中有4個白球的概率P=$\frac{{C}_{3}^{1}}{{C}_{8}^{1}}•\frac{{C}_{5}^{1}}{{C}_{8}^{1}}+\frac{{C}_{5}^{1}}{{C}_{8}^{1}}•\frac{{C}_{4}^{1}}{{C}_{8}^{1}}$=$\frac{35}{64}$．
（Ⅱ）由題意X的所有可能取值為3，4，5，6，
P（X=3）=$\frac{{C}_{3}^{1}}{{C}_{8}^{1}}•\frac{{C}_{3}^{1}}{{C}_{8}^{1}}•\frac{{C}_{3}^{1}}{{C}_{8}^{1}}$=$\frac{27}{512}$，
P（X=4）=$\frac{{C}_{3}^{1}}{{C}_{8}^{1}}•\frac{{C}_{3}^{1}}{{C}_{8}^{1}}•\frac{{C}_{5}^{1}}{{C}_{8}^{1}}$+$\frac{{C}_{3}^{1}}{{C}_{8}^{1}}•\frac{{C}_{5}^{1}}{{C}_{8}^{1}}•\frac{{C}_{4}^{1}}{{C}_{8}^{1}}$+$\frac{{C}_{5}^{1}}{{C}_{8}^{1}}•\frac{{C}_{4}^{1}}{{C}_{8}^{1}}•\frac{{C}_{4}^{1}}{{C}_{8}^{1}}$=$\frac{185}{512}$，
P（X=5）=$\frac{{C}_{3}^{1}}{{C}_{8}^{1}}•\frac{{C}_{5}^{1}}{{C}_{8}^{1}}•\frac{{C}_{4}^{1}}{{C}_{8}^{1}}$+$\frac{{C}_{5}^{1}}{{C}_{8}^{1}}•\frac{{C}_{4}^{1}}{{C}_{8}^{1}}•\frac{{C}_{4}^{1}}{{C}_{8}^{1}}$+$\frac{{C}_{5}^{1}}{{C}_{8}^{1}}•\frac{{C}_{4}^{1}}{{C}_{8}^{1}}•\frac{{C}_{5}^{1}}{{C}_{8}^{1}}$=$\frac{240}{512}$，
∴X的分布列為：

X	3	4	5	6
P	$\frac{27}{512}$	$\frac{185}{512}$	$\frac{240}{512}$	$\frac{60}{512}$

E（X）=$3×\frac{27}{512}+4×\frac{185}{512}+5×\frac{240}{512}+6×\frac{60}{512}$=$\frac{2381}{512}$．

點評 本題考查概率的求法，考查離散型隨機變量的分布列及數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意排列組合知識的合理運用．