Question

a、b是常數(shù)，關(guān)于x的一元二次方程x²+（a+b）x+3+

ab

2

=0有實(shí)數(shù)解記為事件A，
（1）若a∈{1，2，3，4}，b∈{2，3，4，5}，求P（A）；
（2）若a∈R、b∈R，-6≤a+b≤6且-6≤a-b≤6，求P（A）

Answer 1

考點(diǎn)：幾何概型,列舉法計(jì)算基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率

專題：概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（1）先求出數(shù)對(duì)（a，b）的個(gè)數(shù)，再由方程有根，必有△≥0，由此關(guān)系計(jì)數(shù)得出符合的數(shù)對(duì)（a，b）的個(gè)數(shù)，再由古典概型公式求出概率．
（2）此題是一個(gè)幾何概率模型，先求出區(qū)域D={（a，b）|-6≤a+b≤6，-6≤a-b≤6}的面積，再求出程有實(shí)根對(duì)應(yīng)區(qū)域?yàn)閐={（a，b）|-6≤a+b≤6，-6≤a-b≤6，a²+b²≥12}與區(qū)域D的公共部分的面積，再由幾何概型概率公式求出概率．

解答： 解：（1）方程有實(shí)數(shù)解，（a+b）²-4（3+

ab

2

）≥0，
即a²+b²≥12…（1分）
依題意，a=1、2、3、4，b=1、2、3、4、5，
所以共有4×5=20種結(jié)果…（2分）
當(dāng)且僅當(dāng)“a=1且b=1、2、3”，或“a=2且b=1、2”，
或“a=3且b=1”時(shí)，a²+b²≥12不成立…（5分），
所以滿足a²+b²≥12的結(jié)果有20-（3+2+1）=14種…（6分），
從而P（A）=

14

20

=

7

10

…（7分）．
（2）在平面直角坐標(biāo)系aOb中，直線a+b=±6與a-b=±6
圍成一個(gè)正方形…（8分）
正方形邊長(zhǎng)即直線a+b=±6與a-b=±6之間的距離為d=

6+6

2

=6

2

…（9分）
正方形的面積S=d²=72…（10分），
圓a²+b²=12的面積為S′=12π…（11分）
圓在正方形內(nèi)部…（12分），
所以P（A）=

S-S′

S

=

72-12π

72

=1-

π

6

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查等可能事件的概率，解題的關(guān)鍵是理解題意，得出（1）是一個(gè)古典概率模型問題，（2）中是一個(gè)幾何概率模型，由相應(yīng)的公式計(jì)算出概率．