Question

已知冪函數(shù)g（x）=（m²-2）x^m（m∈R）在（0，+∞）為減函數(shù)，已知f（x）是對數(shù)函數(shù)且f（-m+1）+f（-m-1）=

1

2

．
（1）求g（x），f（x）的解析式；
（2）若實數(shù)a滿足f（2a-1）＜f（5-a），求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點：冪函數(shù)的概念、解析式、定義域、值域,函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用,不等式的解法及應用

分析：（1）根據(jù)題意，求出m的值，得出g（x）的解析式，再求出f（x）的解析式；
（2）根據(jù)題意，利用f（x）的單調(diào)性，列出不等式組，求出實數(shù)a的取值范圍．

解答： 解：（1）∵冪函數(shù)g（x）=（m²-2）x^m（m∈R）在（0，+∞）上為減函數(shù)，
∴

m2-2=1 m＜0

，
解得m=-

3

，
∴g（x）=x-

3

；
又∵f（x）是對數(shù)函數(shù)，且f（-m+1）+f（-m-1）=

1

2

，
∴設(shè)f（x）=log_ax（a＞0且a≠1），
∴l(xiāng)og_a（-m+1）+log_a（-m-1）=

1

2

，
即log_a（m²-1）=log_a2=

1

2

，
解得a=4，
∴f（x）=log₄x；
（2）∵實數(shù)a滿足f（2a-1）＜f（5-a），
且f（x）=log₄x在（0，+∞）上單調(diào)遞增，
∴

2a-1＞0 5-a＞0 2a-1＜5-a

，
解得

a＞ 1 2 a＜5 a＜2

；
即

1

2

＜a＜2，
∴實數(shù)a的取值范圍是（

1

2

，2）．

點評：本題考查了函數(shù)的性質(zhì)與應用的問題，也考查了不等式的解法與應用問題，是基礎(chǔ)題目．