Question

為了治理“沙塵暴“，西部某地區(qū)政府經(jīng)過多年努力，到2006年底，將當(dāng)?shù)厣衬�綠化了40%，從2007年開始，每年將出現(xiàn)這種現(xiàn)象，原有沙漠面積的12%被綠化，即改造為綠洲（被綠化的部分叫綠洲），同時(shí)原有綠洲面積的8%又被侵蝕為沙漠，問至少經(jīng)過幾年的綠化，才能使該地區(qū)的綠洲面積超過50%？（可參考數(shù)據(jù)lg2=0.3，最后結(jié)果精確到整數(shù)）

Answer 1

考點(diǎn)：根據(jù)實(shí)際問題選擇函數(shù)類型

專題：應(yīng)用題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：根據(jù)題意利用今年的綠化面積表示出明年的綠化面積是解決本題的關(guān)鍵，弄清楚今年的綠化面積與明年綠化面積之間的關(guān)系，將文字語(yǔ)言表示為數(shù)學(xué)語(yǔ)言，根據(jù)等比數(shù)列的定義可證得數(shù)列{a_n-

3

5

}是以-

1

5

為首項(xiàng)，公比為

4

5

的等比數(shù)列，得出該數(shù)列的通項(xiàng)公式，利用指數(shù)式和對(duì)數(shù)式之間的關(guān)系確定出合題意的年份．

解答： 解：設(shè)經(jīng)過n年綠洲面積為a_n+1，a_n+1表示如下：a_n+1=a_n•（1-8%）+（1-a_n）•12%
即a_n+1=80%a_n+12%，
∴a_n+1-

3

5

=

4

5

（a_n-

3

5

）
∴數(shù)列{a_n-

3

5

}是以-

1

5

為首項(xiàng)，公比為

4

5

的等比數(shù)列
∴a_n-

3

5

=（-

1

5

）×（

4

5

）^n-1，即a_n=（-

1

5

）×（

4

5

）^n-1+

3

5

則a_n+1=（-

1

5

）×（

4

5

）ⁿ+

3

5

≥

1

2

即

1

2

≥（

4

5

）ⁿ
兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)可得-lg2≥n（2lg2-lg5）=n（3lg2-1）
故n≥

lg2

1-3lg2

＞3，故使得上式成立的最小n∈N^*為4，
答：最少需要經(jīng)過4年的綠化，才能使該地區(qū)的綠洲面積超過50%．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列在實(shí)際問題中的應(yīng)用，考查探索數(shù)列遞推關(guān)系的數(shù)學(xué)模型意識(shí)，關(guān)鍵要將題目中的文字語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語(yǔ)言，考查學(xué)生根據(jù)數(shù)列的遞推關(guān)系確定通項(xiàng)公式的方法，考查學(xué)生對(duì)數(shù)的運(yùn)算、轉(zhuǎn)化與化歸思想方法．