Question

5．如圖，點(diǎn)A、B、D、E在⊙O上，ED、AB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)C，AD、BE交于點(diǎn)F，AE=EB=BC．
（1）證明：$\widehat{DE}$=$\widehat{BD}$；
（2）若DE=4，AD=8，求DF的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）證明∠BAD=∠EAD，即可證明：$\widehat{DE}$=$\widehat{BD}$；
（2）證明△EAD∽△FED，利用比例關(guān)系求DF的長(zhǎng)．

解答 （1）證明：∵EB=BC
∴∠C=∠BEC
∵∠BED=∠BAD
∴∠C=∠BED=∠BAD…（2分）
∵∠EBA=∠C+∠BEC=2∠C，AE=EB
∴∠EAB=∠EBA=2∠C，
又∠C=∠BAD
∴∠EAD=∠C
∴∠BAD=∠EAD…（4分）
∴$\widehat{DE}=\widehat{DB}$．…（5分）
（2）解：由（1）知∠EAD=∠C=∠FED，又∠EDA=∠EDA
∴△EAD∽△FED…（8分）
∴$\frac{DE}{DF}=\frac{AD}{DE}$
又∵DE=4，AD=8，
∴DF=2．…（10分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)，考查等角對(duì)等弧，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．