Question

17．如圖，已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，CA=CB，側(cè)面AA₁B₁B是菱形，且∠ABB₁=60°．
（I）求證：AB⊥B₁C；
（Ⅱ）若AB=B₁C=2，BC=$\sqrt{2}$，求二面角B-AB₁-C₁的正弦值．

Answer 1

分析 （1）取AB中點，連接OC，OB₁，證明AB⊥平面OCB₁，即可證明．AB⊥B₁C；
（2）建立空間坐標(biāo)系，求出平面的法向量，利用向量法先求出二面角的余弦值，然后求正弦值即可．

解答 解：（1）∵四邊形AA₁B₁B是菱形，且∠ABB₁=60°．
∴△ABB₁是等邊三角形，
取AB中點，連接OC，OB₁，則AB⊥OB₁，
∵CA=CB，∴AB⊥OC，
∵OC∩OB₁=O，OB₁，OC?平面OB₁C，
∴AB⊥平面OCB₁，∴AB⊥B₁C；
（2）∵△ABB₁是等邊三角形，AB=2，∴OB₁=$\sqrt{3}$，
∵在△ABC中，AB=2，BC=AC=$\sqrt{2}$，O為AB的中點，
∴OC=1，
∵B₁C=2，0B₁=$\sqrt{3}$，∴OB₁²+OC²=B₁C²，
∴OB₁⊥OC，
∵OB₁⊥AB，
∴OB₁⊥平面ABC，
以O(shè)為坐標(biāo)原點，OB，OC，OB₁的方向為x，y，z軸的正向，建立如圖所示的坐標(biāo)系，
可得A（-1，0，0），B₁（0，0，$\sqrt{3}$），B（1，0，0），C（0，1，0），
則$\overrightarrow{O{C}_{1}}$=$\overrightarrow{OC}$+$\overrightarrow{C{C}_{1}}$=$\overrightarrow{OC}$+$\overrightarrow{B{B}_{1}}$=（-1，1，$\sqrt{3}$），則C（-1，1，$\sqrt{3}$），
$\overrightarrow{A{B}_{1}}$=（1，0，$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{A{C}_{1}}$=（0，1，$\sqrt{3}$），
則平面BAB₁的一個法向量為$\overrightarrow{m}$=（0，1，0），
設(shè)$\overrightarrow{n}$=（x，y，z）為平面AB₁C₁的法向量，
則：$\overrightarrow{n}$•$\overrightarrow{A{B}_{1}}$=x+$\sqrt{3}$z=0，$\overrightarrow{n}$•$\overrightarrow{A{C}_{1}}$=y+$\sqrt{3}$z=0，
令z=-1，則x=y=$\sqrt{3}$，
可得 $\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$，-1），
故cos＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{\sqrt{21}}{7}$，
則sin＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$＞=$\sqrt{1-（\frac{\sqrt{21}}{7}）^{2}}$=$\frac{2\sqrt{7}}{7}$，
即二面角B-AB₁-C₁的正弦值是$\frac{2\sqrt{7}}{7}$．

點評 本題主要考查線面垂直的判斷以及二面角的求解，根據(jù)相應(yīng)的判定定理以及建立空間坐標(biāo)系，求出平面的法向量，利用向量法是解決二面角的常用方法．