Question

2．已知在${（\frac{1}{x}+2\root{3}{x}）^n}$的展開式中二項(xiàng)式系數(shù)和為256．
（1）求展開式中常數(shù)項(xiàng)；
（2）求展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)．

Answer 1

分析 （1）依題意知展開式中的二項(xiàng)式系數(shù)的和為2ⁿ=256，由此求得n的值，再根據(jù)通項(xiàng)公式即可求出展開式中常數(shù)項(xiàng)．
（2）展開式中的二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為中間項(xiàng)，即第五項(xiàng)，從而求得結(jié)果．

解答 解：（1）二項(xiàng)式系數(shù)和為2ⁿ=256，∴n=8，
其通項(xiàng)公式為C₈^r2^r${x}^{-8+\frac{4}{3}r}$，（0≤r≤8，r∈N），
令-8+$\frac{4}{3}$r=0，即r=6，
∴展開式中常數(shù)項(xiàng)C₈⁶2⁶=1792；
（2）∵n=8，
∴展開式中的二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為中間項(xiàng)，即第五項(xiàng)，
∴r=4
∴二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為T₅=C₈⁴2⁴${x}^{-\frac{8}{3}}$=1120${x}^{-\frac{8}{3}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式，求展開式的系數(shù)和常用的方法是賦值法，屬于中檔題．