Question

15．研究函數f（x）=$\frac{lnx}{x}$的性質，完成下面兩個問題：
①將f（2）、f（3）、f（5）按從小到大排列為f（5）＜f（2）＜f（3）；；
②函數g（x）=${x}^{\frac{1}{x}}$（x＞0）的最大值為e${\;}^{\frac{1}{e}}$．

Answer 1

分析 ①利用導數判斷在（0，e）遞增，（e，+∞）遞減得出f（3）＞f（5），運用作差判斷f（2）-f（5），f（2）-f（3）即可得出大小．
②構造函數ln（g（x））=$\frac{1}{x}$lnx（x＞0），令h（x）=$\frac{1}{x}$lnx（x＞0），運用導數求解極大值，得出h（x）的極大值為h（e）=$\frac{1}{e}$lne=$\frac{1}{e}$，結合對數求解即可．

解答 解：①∵函數f（x）=$\frac{lnx}{x}$，
∴f′（x）=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$，
f′（x）=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$=0，x=e，
f′（x）=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$，＞0，x∈（0，e）
f′（x）=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$＜0，x∈（e，+∞）
∴在（0，e）遞增，（e，+∞）遞減
∴f（3）＞f（5），
∵f（2）-f（5）=$\frac{ln2}{2}$$-\frac{ln5}{5}$=$\frac{5ln2-2ln5}{10}$=$\frac{ln32-ln25}{10}$＞0
∴f（2）＞f（5）
∵f（2）-f（3）=$\frac{3ln2-2ln3}{6}$=$\frac{ln8-ln9}{6}$＜0
∴f（3）＞f（2）
故答案：f（5）＜f（2）＜f（3）；
②∵函數g（x）=${x}^{\frac{1}{x}}$（x＞0），
∴l(xiāng)n（g（x））=$\frac{1}{x}$lnx（x＞0）
令h（x）=$\frac{1}{x}$lnx（x＞0），
h′（x）=$\frac{1}{{x}^{2}}$（1-lnx）=0，x=e
h′（x）=$\frac{1}{{x}^{2}}$（1-lnx）＜0，x＞e
h′（x）=$\frac{1}{{x}^{2}}$（1-lnx）＞0，0＜x＜e
∴h（x）=$\frac{1}{x}$lnx（x＞0），
在（0，e）遞增，在（e，+∞）遞減，
h（x）的極大值為h（e）=$\frac{1}{e}$lne=$\frac{1}{e}$，
∴函數g（x）=${x}^{\frac{1}{x}}$（x＞0）的最大值為e${\;}^{\frac{1}{e}}$，
故答案為：e${\;}^{\frac{1}{e}}$

點評 本題綜合考察了學生運用導數解決問題的能力，構造思想，不等式的運用，對數的運用，屬于比較新穎的題目．