Question

4．已知f（x）、g（x）分別是定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，若f（x）+g（x）=3^x，則下列結論正確的是（　�。�

• A． f（1）=$\frac{8}{3}$
• B． g（1）=$\frac{10}{3}$
• C． 若a＞b，則f（a）＞f（b）
• D． 若a＞b，則g（a）＞g（b）

Answer 1

分析 首先，在給定的等式中，以-x代x，構造一個輔助關系式，得出f（x）-g（x）=-3^-x，利用函數(shù)的單調(diào)性，即可得出結論．

解答 解：∵f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，
∴f（-x）=-f（x），
∵g（x）是定義在R上的偶函數(shù)，
∴g（-x）=g（x），
∵f（x）+g（x）=3^x，①
在上述等式中，以-x代x，得：f（-x）+g（-x）=3^-x，
∴-f（x）+g（x）=3^-x，
∴f（x）-g（x）=-3^-x，②
由①②可得f（x）=$\frac{1}{2}$（3^x-3^-x），g（x）=$\frac{1}{2}$（3^x+3^-x），
∴f（1）=$\frac{4}{3}$，g（1）=$\frac{5}{3}$，故A，B不正確
∵函數(shù)f（x）=$\frac{1}{2}$（3^x-3^-x）單調(diào)遞增，
∴a＞b，則f（a）＞f（b），故C正確；
對于D，利用對勾函數(shù)的性質(zhì)，可知不正確．
故選：C．

點評 本題重點考查了函數(shù)奇偶性在求解函數(shù)解析式中的應用，注意體會構造思想在解題中的靈活運用，屬于中檔題．